Основні залежності механіки стержнів. Рівняння статичної, геометричної і фізичної сторін задачі для стержня

1. Статична сторона задачі. Рівняння рівноваги

Розглянемо нескінченно малий елемент стержня.

Рис. 3.1

Інтегральні характеристики

, , .

Приріст кожного із зусиль визначається так:

.

Отримаємо рівняння рівноваги у вигляді :

1.

2.

3.

2. Геометрична сторона задачі. Зв'язок між деформаціями і переміщеннями

Рис. 3.2

Деформація - кривизна

береться «мінус»

.

Приклад

Рис. 3.3

Насправді, при так званих “великих переміщеннях (див. рис. 3.3) мають місце не тільки вертикальні, а і горизонтальні переміщення точок стержня. Але в елементарній лінійній теорії згину вважається, що і цей ефект не враховується.

3. Фізична сторона задачі. Закон Гука

, ,

де G – модуль зсуву, Е – модуль пружності (модуль Юнга).

(наприклад, для металу Е=2 10⁵ Мпа),

де µ- коефіцієнт Пуассона (залежність між поперечними і повздовжніми деформаціями), µ=0…0,5.

Найпростіший напружений стан – розтяг-стиснення (див. рис. 3.4)

Рис. 3.4

1) 2) 3) закон Гука*

Розрахував коефіцієнт k Томас Юнг в 1807 р.

.

Кулон у 1784 році отримав при скрученні стержня залежність

.

А.Навьє в 1826 році ввів поняття напруження і отримав

,

тобто через 150 років після оприлюднення закону Гука.

Далі Коші ввів поняття про головні напруження

,

а Пуассон ввів коефіцієнт .

Тобто, до фундаментальних понять про напруження і деформації людство йшло майже два століття, хоч впритул до цього наблизився Юнг і навіть близько був ще Галілей.

,

,

.

* Цікавою є історія становлення закону Гука. Знаний англійський учений Роберт Гук в 1660 р. сформулював, а в 1676 р. оприлюднив, і то у вигляді анаграми, таке: «яка деформація, таке і навантаження» (навіть не навпаки). Майже одночсасно з Гуком (1680 р.) і незалежно від нього цей закон сформулював француз Маріотт: «навіть найбільш тверді тіла – скло і залізо – деформуються пропорційно навантаженню». Тобто, , де P – навантаження, f – деформація стержня, k – коефіцієнт пропорційності. Розшифрування коефіцієнта k стало можливим через 130 років, коли англієць Томас Юнг у 1807 р. ввів поняття про модуль пружності Е, названий його ім’ям. Тепер можна було записати , де l – довжина стержня, F – площа поперечного перерізу, Е – модуль Юнга, Р – навантаження (сила). Юнг же і визначив значення Е для сталей, як 2·10⁵ МПа. У 1784 р. французький фізик Кулон сформулював закон Гука при скрученні стержня . У 1826 р. французький інженер (потім академік) А.Нав’є видав перший підручник з опору матеріалів, в якому ввів поняття про напруження (як силу, що діє на одиницю площі перерізу) і записав (через 150 років після оприлюднення закону Гука), а також отримав відому формулу для нормальних напружень при згині стержня . Згодом Нав’є ввів поняття про допустимі напруження, умову міцності, О.Коші – поняття про головні напруження і головні деформації, Пуассон ввів свій «коефіцієнт Пуассона». Таким чином, загальними зусиллями в основному цих трьох видатних французів закон Гука постав у закінченому вигляді «узагальненого закону Гука». Тобто, до фундаментальних понять про напруження і деформації людство йшло майже два століття, хоч до них впритул наблизився Юнг і, навіть, близько був ще Галілей (1564-1642).

Деформація .

Постановка крайової задачі механіки стержнів у зусиллях і переміщеннях.

Розглянемо балку.

- рівняння сумісності деформацій, . - рівняння рівноваги.

(*)

Граничні умови

Рис. 3.5

Будемо умовно вважати, що індексами «1» позначені точки, у яких задані силові характеристики ,

а індексами «2», відповідно, точки, у я ких задані кінематичні характеристики

.

Рівняння (_*) можна звести до одного рівняння і отримати постановку крайової задачі механіки стержнів у переміщеннях

.

При цьому

, .

Тоді граничні умови

, , .

Лекція 4