Робота зовнішніх сил. Теорема Клапейрона. Принципи Лагранжа і Кастільяно.
Рис. 5.1
Робота зовнішніх сил з урахуванням рівняння рівноваги дорівнює
Перетворимо інтеграл у правій частині за допомогою формули інтегрування по частинах
,
,
, ,
Тоді основна інтегральна формула (формула Гріна) має вигляд:
Звідси
,
Для лінійної пружної системи (рис. 5.2)
.
З урахуванням прийнятих позначень граничних умов
, .
Остаточно отримаємо
(♦)
за умов:
,
Вираз (♦) являє собою відому теорему Клапейрона: для дійсного стану лінійно пружної системи, у якому задовольняються рівняння рівноваги, сумісності деформацій, фізичної сторони задачі та граничні умови, подвійна потенціальна енергія пружної деформації доравнює роботі зовнішніх сил.
Ураховуючи, що робота внутрішніх сил ототожнюється з потенціальною енергією пружної деформації і за законом збереження енергії дорівнює роботі зовнішніх сил згідно з теоремою Клапейрона: при статичному навантаженні лінійно-пружної системи, яка знаходиться у дійсному стані, робота зовнішніх сил обчислюється як половина добутку остаточного значення узагальненої силина остаточне значення відповідного узагальненого переміщення. Якщо зовнішнє навантаження є кінематичним, тобто задається за допомогою узагальнених переміщень, то робота внутрішніх сил ототожнюється із додатковою потенціальною енергією, яка для лінійно-пружної системи дорівнює потенціальній енергії пружної деформації.
Рис. 5.3 |
Принципи Лагранжа і Кастільяно
Основна інтегральна формула (формула Гріна)
дозволяє переносити диференціальний оператор з однієї функції на іншу.
Витікає залежність, яка по суті являє собою рівність робіт внутрішніх і зовнішніх сил
або
. (♦♦)
Оскільки (див. рис. 5.4)
і, відповідно,
.
Для лінійних задач .
Тоді отримаємо формулу Клапейрона
, (♦♦♦)
де робота зовнішніх сил на границях записана з урахуванням граничних умов
і .
Оскільки при отриманні залежностей (♦♦), (♦♦♦) використані умови рівноваги , сумісності деформацій , фізичної сторони задачі , а також наведені вище граничні умови, можна стверджувати, що функції і , які входять до них, є дійсними.
Тепер у залежності
,
де, відповідно, підкреслені члени, які залежать від і , будемо варіювати
(ліворуч) | (праворуч) |
Урахуємо, що | Урахуємо, що |
а підстановка першого члену дає тотожність. Остаточно отримаємо таке варіаційне рівняння | а підстановка першого члену дає тотожність. Остаточно отримаємо таке варіаційне рівняння |
Воно має назву варіаційного рівняння Лагранжа | Воно має назву варіаційного рівняння Кастільяно |
Відповідний функціонал має назву функціонала Лагранжа (залежить від функції ) | Відповідний функціонал має назву функціонала Кастільяно[7] (залежить від функції ) |
. |
Наведені варіаційні рівняння за змістом відображають принцип Лагранжа і принцип Кастільяно. Тобто всі і є дійсними, оскільки вони задовольняють рівнянням рівноваги, сумісності деформацій, граничним умовам.
Причому маємо такі додаткові умови. 1. Граничні умови: . | Причому маємо такі додаткові умови. 1. Граничні умови: |
2. Рівняння сумісності деформацій: , а також . | 2. Рівняння рівноваги: , а також . |
Принцип Лагранжа | Принцип Кастільяно |
З усіх можливих систем переміщень дійсні переміщення надають функціоналу Лагранжа стаціонарне (мінімальне) значення. | З усіх можливих систем зусиль дійсні зусилля М надають функ-ціоналу Кастільяно стаціонарне (максимальне) значення. |
Під можливими переміщеннями розуміють переміщення, які задовольняють умовам в’язей | Під можливими зусиллями розуміють зусилля, які задоволь-няють рівнянням статики і статич- ним граничним умовам |
(кінематичним граничним умовам), а також умовам сумісності деформацій , | , |
Оскільки функціонал Лагранжа залежить від другої похідної, маємо
У нашому випадку
Тоді варіаційне рівняння для функціонала Лагранжа має вигляд
У загальному випадку при отримаємо
Лекція 6
Дата добавления: 2016-12-26; просмотров: 1005;