Перетворення Лежандра. Нерівність Юнга. Двоїсті за Юнгом функції. Теорема Донкіна. Теореми Лагранжа і Кастільяно

Перетворення Лежандра – допоміжний математичний прийом, який полягає у переході від функцій на лінійному просторі до функцій на спряженому просторі. Воно аналогічно проективній подвійності і тангенціальним координатам у алгебраїчній геометрії або побудові спряженого банахова простору в математичному аналізі.

Нехай опукла, .

Перетворення Лежандра функції називається нова функція нового змінного, яка будується наступним чином:

Рис. 7.1

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Дві функції , які являють собою перетворення Лежандра одна до одної, називаються двоїстими за Юнгом. За визначенням перетворення Лежандра , звідки витікає нерівність Юнга

.

Теорема. Перетворення Лежандра інволютивне, тобто його квадрат дорівнює тотожному перетворенню: якщо при перетворенні Лежандра переходить в , то перетворення Лежандра від буде знову .

Доведення. Щоб здійснити перетворення Лежандра функції змінного , миповинні, за визначенням, розглянути нове незалежне змінне (позначимо його через , скласти функцію

,

знайти точку , в якій має максимум:

, тобто ,

і тоді перетворення Лежандра буде функція від , яка дорівнює

Доведемо, що З цього приводу відмітимо, що має просте геометричне розуміння: це координата дотичної до графіка , що має нахил , при абсцисі (див. рис. нижче). Дійсно, при фіксованому функція є лінійна функція від , при цьому , і при маємо для визначення .

Зафіксуємо тепер і будемо змінювати . Тоді значення будуть ординатами точок перетину прямої з дотичними до графіка , що мають різний нахил . Із опуклості графіка витікає, що всі ці дотичні лежать нижче кривої, а тому максимум при фіксованому дорівнює (і досягається при ), щ.м.б.д.

Слідство.Нехай дано сімейство прямих . Тоді обгинаючи має рівняння , де - перетворення Лежандра функції .

Приклад 1

, , , ,

, .

Стосовно цього прикладу зазначимо, що рівність можлива лише за умови . По усіх інших значеннях і має місце нерівність Юнга . В цьому легко пересвідчитись з рисунка. Площа трикутників

і має min при . В усіх інших випадках , що очевидно також, якщо записати вираз , який завжди більше або дорівнює нулеві. Причому нулю він дорівнює при .

Функції і , які пов’язані між собою перетворенням Лежандра є двоїстими за Юнгом.

Теорема.Значення квадратичної форми і її перетворення Лежандра в відповідних точках співпадають: = .

Приклад 2

Для форми це відома властивість дотичної до параболи. Для форми маємо і .

Доведення. З теореми Ейлера про однорідні функції

.

Отже, , щ.м.б.д.

Випадок багатьох змінних.Нехай тепер опукла функція векторного змінного (тобто квадратична форма позитивно визначена). Тоді перетворення Лежандра називається функція векторного змінного , що визначена аналогічними попередніми рівностями

,

.

Усі попередні міркування, в тому числі нерівність Юнга, без змін переносяться на цей випадок.

Отже, функції і , які пов’язані між собою перетворенням Лежандра є двоїстими за Юнгом.

Аналогічні висновки можна зробити і при нелінійній залежності .

Рис. 7.5 Рис. 7.6

, де – двоїсті за Юнгом функції.

Приклад 3

Робота зовнішніх сил

При цьому

Основна інтегральна формула (формула Гріна):

Тоді отримаємо

відомий вираз для теореми Клапейрона.

При (див. рис.)

При

Функції потенціальної енергії пружної деформації і додаткової енергії є двоїстими за Юнгом і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Умови екстремуму дають відповідно теореми:

Теорема Лагранжа	Теорема Кастільяно
Перша похідна від потенціальної енергії пружної деформації по узагальненому переміщення дорівнює відповідній узагальненій силі:	Перша похідна від додаткової потенціальної енергії по узагальненій силі дорівнює відповідному узагальненому переміщенню:

Другі похідні від потенціальної енергії пружної деформації по переміщенню і від додаткової потенціальної енергії по відповідній дорівнюють відповідно коефіцієнтам матриці жорсткості та матриці піддатливості.

Теорема Донкіна

Нехай задана деяка функція , гесіан якої відмінний від нуля:

(1)

і нехай існує перетворення змінних, викликане функцією :

. (2)

Тоді існує перетворення, зворотне до перетворення (2), яке теж породжено деякою функцією :

(3)

при цьому функція Y, що породжує функцію зворотного перетворення, пов’язана з функцією Х, що породжує пряме перетворення, формулою:

. (4)

Якщо функція включає параметри , тобто то Y теж включає ці параметри, тобто і

. (5)

Доведення. Гесіан функції X співпадає з якобіаном правих частин у рівнянні (2) . Тому умова (1) показує, що з рівняння (2) показати змінні через :

.

Нехай функція виражена формулою (4), в якій змінні замінені виразами (15). Тоді

.

Але згідно рівняння (2), два доданки, які знаходяться в правій частині цього рівняння, взаємознищуються і отже має місце формула (3).

Нехай тепер X включає окрім змінних ще і параметри . Тоді ці параметри є в прямому перетворенні(2) , а значить і в зворотному:

.

Функція Y визначається рівністю (13), де замінені на , тому

.

Теорема Донкіна доведена.

Приклад 4

Центральний розтяг стержня силою Р.

Рис. 7.8

При деформації і, відповідно, ,

можна отримати рівняння рівноваги і сумісності деформацій .

Теорема Донкіна

Якщо дві двоїстості за Юнгом функції напружень і залежать від одного і того ж параметра або групи параметрів, який не є активними, тобто не приймають участі у перетворенні Лежандра ( ), то має місце залежність:

У загальному випадку теореми Лагранжа і Кастільяно дають:

В будівельній механіці функції потенціальної енергії пружної деформації і додатковою потенціальної енергії є позитивно визначеними квадратичними формами. Вони є двоїстими за Юнгом функціями і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Перетворення Лежандра є частинним випадком нерівності Юнга-Фенхеля і за фізичним змістом являє собою рівність робіт внутрішніх і зовнішніх сил, тобто відповідає теоремі Клапейрона. Екстремуми двоїстих функцій пружної деформації і додаткової енергії дають теореми Лагранжа і Кастільяно, та призводять до систем лінійних алгебраїчних рівнянь матриці яких (матриці жорсткості і матриці піддатливості) є відповідно матрицями Гессе або матрицями других похідних відповідно від потенціальної енергії пружної деформації (матриця жорсткості) і додаткової потенціальної енергії (матриця піддатливості). Вони (матриці) є позитивно визначеними і задовольняють критеріям Сильвестра, тобто усі їх головні мінори є позитивно визначені. Вони є взаємно оберненими.

Лекція 8