Приклади реалізації принципів Лагранжа і Кастільяно.

Розглянемо розв'язання задачі згину балки (рис. 8.6), яка має кінематичне навантаження у вигляді просідання правої опори на величину , користуючись принципами

Лагранжа	Принцип Кастільяно
Рис. 8.6
Функціонал Лагранжа для даної задачі має вигляд:	Функціонал Кастільяно для даної задачі має вигляд:
Додаткові умови	Додаткові умови , або
Задаємо функцію прогину у вигляді ряду: Тоді	Задаємо функцію у вигляді ряду: який задовольняє статичним граничним умовам і умові рівноваги
Реалізація граничних умов дає: , , , , , Звідси і
Тоді	Тоді
Принцип Лагранжа	Принцип Кастільяно
Інтегруючи і розв’язуючи відповідне рівняння, отримаємо Тоді	Ураховуючи, що Рівняння методу сил має вигляд
Екстремальне значення функціо-нала Лагранжа дорівнює а залежність від показана на рис. 8.7, а.	Екстремальне значення функціо-нала Кастільяно дорівнює Оскільки Це є максимум, а залежність від x показана на рис. 8.7, б.
а	б
Рис. 8.7

Таким чином екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно співпадають.

Функціонал Лагранжа інколи називається повною потенціальною енергією системи і дорівнює сумі потенціальної енергій пружної деформації і роботи зовнішніх сил.

.

При цьому потенціальна енергія пружної деформації ототожнюється з роботою внутрішніх сил і є позитивною. Робота зовнішніх сил обчислюється як добуток сили на відповідне переміщення (без коефіцієнту ½) і вважається негативною. Функціонал Лагранжа або повна потенціальна енергія інколи трактується як енергія, яка витрачається при переході системи від деформованого стану до первісного.