Приклади реалізації принципів Лагранжа і Кастільяно

Розвяжемо задачу показану на рис. 8.1.

1. Функціонал Лагранжа.

,

.

Граничні умови задаються тільки для , оскільки розглядається функціонал Лагранжа.

Приймемо, що

,

де - невідомі константи.

Реалізуючи граничні умови, отримаємо:

1) ;

2) , .

Таким чином

; ; ,

а

, .

Функціонал, а після інтегрування – функція Лагранжа, має вигляд:

.

Знаходимо мінімум екстремум функції

,

, ,

,

.

2. Функціонал Кастільяно

Розглянемо розв’язок цієї ж самої задачі за допомогою функціонала Кастільяно, який для даного випадку має вигляд

.

Додаткові умови:

- рівняння рівноваги

.

- граничні умови

.

Користуючись правилом множників Лагранжа, послідовно отримаємо:

,

; ;

; .

Зазначимо, що за фізичним змістом невідомий множник Лагранжа являє собою кут повороту кінця балки.

,

, ,

,

.

3. Функціонал Кастільяно

.

Додаткові умови

.

Для даної задачі (рис. 8.5)

.

Розшукуємо у вигляді ряду

,

або (див. рис. 8.5)

,

де невідомою є .

Перевіримо виконання додаткових умов

і підставимо до вихідного функціоналу

.

Знайдемо екстремум

.

Таким чином ми отримали відповідне рівняння методу сил

,