IV.3. Теореми єдності та стійкості розв’язка початково-крайової задачі.

Теорема єдності.

Початкова-крайова задача

має не більше ніж один розв’язок.

Доведення.

Припустимо, що є розв’язками задачі (IV.8) – (IV.10). Введемо нову функцію . Як бачимо, функція задовольняє рівняння (IV.8). Також для неї виконуються крайові умови та початкова умова . З принципу максимуму випливає, що . А звідки і те, що .

Теорема стійкості.

Малим змінам заданих функцій у початково-крайовій задачі

відповідають мали зміни розшукуємого розв’язку.

Доведення.

Розглянемо задачу з похибкою у початкових та крайових умовах:

За візьмемо - максимальну похибку в умовах (IV.15), (IV.16). Покажемо, що для будь-яких похибка у розв’язку не перевищує похибки у крайових та початкових умовах: .

Побудуємо функцію . Вона є розв’язком відповідної початково-крайової задачі:

Відповідно до принципу максимуму для будь-якої точки виконується

що і потрібно було довести.

IV.4. Задача Коші.

Постановка задачі.

Під час дослідження процесу теплопровідності у точках, що розташовані на досить великій відстані від границі тіла, впливом граничних умов можна нехтувати та вважати тіло нескінченним. У такій постановці виникає задача Коші – потрібно відшукати розв’язок рівняння теплопровідності при заданих початкових умовах

(IV.20)

(IV.21)

У більшості випадків до задачі Коші додається умова або обмеженості розв’язку , або прямування його до нуля на нескінченності .

Єдність розв’язку.

Теорема.

Задача Коші (IV.20), (IV.21) має не більш ніж один обмежений розв’язок.

Доведення. Проводитиметься від протилежного. Нехай існує два різних обмежених розв’язка задачі Коші . Побудуємо нову функцію за формулою , відносно якої запишемо задачу Коші:

(IV.22)

(IV.23)

З умови обмеженості розв’язків випливає обмеженість функції :

(IV.24)

для будь-яких та .

Введемо ще одну допоміжну функцію наступного вигляду:

(IV.25)

Легко переконатися, що зображення (IV.25) є розв’язком рівняння теплопровідності. Зафіксуємо будь-яке значення , та порівняємо обидві функції та у області . Якщо , то .Якщо ,то .

Враховуючи отримані оцінки та користуючись принципом максимуму, довели, що для будь-якого виконано нерівності .

Зафіксуємо точку та спрямуємо до нескінченності. Отримаємо, що .

Функція від величини не залежить, звідки маємо, що . Отже, розв’язки та співпадають.