Робота внутрішніх сил. Потенціальна енергія пружної деформації. Додаткова потенціальна енергія. Теореми Дж. Гріна і Кастільяно

Потенціальна енергія пружної деформації ототожнюється з роботою внутрішніх сил і за законом збереження енергії - відповідно з роботою зовнішніх сил.

Розглянемо нескінченно малий елемент, який знаходиться в умовах одновісного напружено-деформованого стану.

Рис. 4.1

Деформація

змінюється

. У загальному випадку

. Робота внутрішніх сил

Для одновимірної задачі надалі позначимо

Повна потенціальна енергія тіла дорівнює:

– питома (на одиницю об’єму) потенціальна енергія пружної деформації.

Рис. 4.2

– питома потенціальна енергія пружної деформації. Додаткова питома потенціальна енергія (термін «додаткова» пов’язується з доповненням до прямокутника)

Цей вираз має назву перетворення Лежандра.

Функції, які пов’язані між собою перетворенням Лежандра, називаються двоїстими за Юнгом.

Похідні від цих функцій дорівнюють відповідно:

.	.
У випадку закону Гука відповідно:
.	.
. Перші похідні:
.	.
Ці формули мають назву:
Формула Дж. Гріна	Формула Кастільяно
Другі похідні визначають відповідно коефіцієнти жорсткості і піддатливості:
.	.

Зазначимо, що у загальному випадку просторової задачі теорії пружності будемо мати такі залежності:

, ,

де - матриця жорсткості, - матриця піддатливості.

де - одинична матриця.

Формули Дж. Гріна	Формули Кастільяно

Потенціальна енергія згину балки з урахуванням наведених вище залежностей:

де, відповідно

, , .

Таким чином, потенціальна енергія:

Ураховуючи, що отримаємо


– потенціальна енергія пружної деформації при згині балки	– додаткова потенціальна енергія при згині балки

Питома (на одиницю довжини) потенціальна енергія пружної деформації при згині балки	Питома (на одиницю довжини) додаткова потенціальна енергія пружної деформації при згині балки

(рис. 4.3)


Рис. 4.3 Приклад
Рис. 4.4	, , де - коефіцієнт жорсткості, - коефіцієнт піддатливості. Матриця Гессе (матриця других похідних).

Зауваження. Зазначимо, що вираз перетворення Лежандра можна отримати, якщо розглядати диференціал потенціальної енергії , який залежить від двох змінних - і .