Рівняння Ейлера1 варіаційної задачі. Рівняння Ейлера-Пуассона. Приклади.

Необхідна умова екстремуму функціонала

,

.

Позначимо далі

Пертворимо другий інтеграл за формулою інтегрування по частинах:

,

,

, ,

, , ,

.

Розглянемо задачу з так званими нерухомими границями .

¹ Ейлер, Леонард (нім. Leonhard Euler, 1707—1783) – математик, механік, фізик і астроном. Один із фундаторів варіаційного числення (праці 1727-1741 р.р.). У 1744 р. вийшла його праця «Метод нахождения кривых линий» – перша книга з варіаційного числення. Написав видатні мемуари майже по усіх галузях математики і механіки. Список його праць нараховує 850 назв, серед яких ряд багатотомних монографій. З 1909 р. у Швейцарії видається повне зібрання його творів, розраховане на 72 томи. Крім того, лише частково опублікована його наукова переписка, що охоплює 3000 листів.

Рис. 2.1

Тоді отримаємо .

Основна лема варіаційного числення ‑ лема Лагранжа[4]

Якщо функція неперервна на відрізку і

для довільної функції такої, що має неперервну похідну на і дорівнює нулю на кінцях відрізка , то на відрізку .

З урахуванням цієї леми отримаємо диференціальне рівняння Ейлера:

.

Граничні умови:

, .

У варіаційному численні використовується ще одна лема – лема Дю-Буа-Реймонда[5].

Якщо функція неперервна на відрізку і

для довільної неперервної функції , такої що має неперервну похідну на і дорівнює нулю на кінцях відрізка , то є сталою на відрізку .

Якщо для будь-якої безперервної функції існує безперервна функція , яка має безперервну похідну і має місце , то на всьому відрізку [a,b].

Рівняння Ейлера може бути розгорнено, якщо від функції взяти похідну по х:

.

Таким чином, отримаємо розгорнутий вираз рівняння Ейлера

.

Приклад 1

Знайти екстремум функціонала довжини дуги , ,

Рис. 2.2

Тобто екстремалями є прямі лінії, які визначають найкоротшу відстань між точками і .

Приклад 2

Знайти екстремум функціонала

.

Граничні умови

Рівняння Ейлера

Рис. 2.3

Реалізація граничних умов дає розвязок:

Таким чином екстремум функціоналу досягається на прямій . Причому на всьому відрізку [0,1].

Приклад 3

Задача про брахістохрону: визначити криву, що з’єднує задані точки А і В, по якій матеріальна точка переміститься із А у В за найкоротший час (тертям і опором середовища нехтуємо).

Розмістимо початок координат в точці А, вісь спрямуємо горизонтально, вісь − вертикально донизу. Швидкість руху матеріальної точки . Час, що витрачається на переміщення точки з положення в положення , визначається за формулою

, , .

Оскільки цей функціонал належить до найпростішого виду і його підінтегральна функція не містить явно , то рівняння Ейлера має перший інтеграл , або в даному випадку

.

Після спрощень матимемо або . Введемо параметр , вважаючи , і дістанемо

;

;

.

Отже, в параметричній формі рівняння шуканої лінії має вигляд

, .

Змінюючи параметр за допомогою підстановки і враховуючи, що , оскільки при маємо , дістанемо рівняння сімейства циклоїд у звичайній формі:

, ,

де − радіус круга, що котиться. Радіус визначається з умови проходження циклоїди через точку . Отже, брахістохроною є циклоїда.

Функціонали, які залежать від другої похідної. Рівняння Ейлера-Пуассона[6]

Функціонал

.

Варіаційне рівняння для цього функціонала має вигляд:

,

або

.

З урахуванням позначень частинних похідних

отримаємо

.

До другого і третього членів цього рівняння застосуємо процедуру перетворення по частинах

,

,

, , .

Аналогічно

Підсумовуючи підкреслені члени отримаємо:

.

Згідно з лемою Лежандра отримаємо

– рівняння Ейлера-Пуассона для функціоналу, який залежить від другої похідної.

Граничні умови

, ,

, .

По аналогії запишемо рівняння Ейлера-Пуассона для функціоналу, який залежить від n-ї похідної

.

Рівняння Ейлера-Пуассона мають порядок 2ⁿ.

.

Граничні умови

,

Приклад 4

.

Граничні умови

,	,
,	.

Рівняння Ейлера-Пуассона

,

Диференціальне рівняння Ейлера є рівняння 4 порядку.

Загальний розв’язок:

,

.

Реалізуємо граничні умови

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Екстремаль . Тобто функціонал досягає екстремуму на прямій . Причому , а на всьому відрізку [0,1] (див. рис.).

Рис. 2.4

Приклад 5 Граничні умови	Рис. 2.5
Тоді . Екстремаль . Причому , на всьому відрізку [0,1].

Приклад 6

Граничні умови	Рис. 2.6
Тоді , . Екстремаль , , , Точка перетину ; , ; (див. рис.).
Приклад 7 Граничні умови	Рис. 2.7
Тоді . Екстремаль , (екстремум), (точка перетину). Точка перетину ; ; (див. рис.).
Приклад 8 Граничні умови Рис. 2.8 Тоді . Екстремаль , . Екстремум при . Приклад 9 Граничні умови Рис. 2.9 Тоді . Екстремаль ; . ; Екстремум при . Точка перетину ; ; (див. рис.).

Надалі буде показано, що вихідний функціонал =0 являє собою функціонал Лагранжа для балки з відповідними кінематичними граничними умовами (приклади 4–9) і реалізація принципу Лагранжа призводить до відповідного рівняння Ейлера, розв’язок якого визначає лінію прогину балки.

Лекція 3