ІІІ.1. Побудова фундаментальної функції рівняння Лапласа. Ії фізичний сенс.

РІВНЯННЯ ЕЛІПТИЧНОГО ТИПУ З ЕЛЕМЕНТАМИ

ТЕОРІЇ ПОТЕНЦІАЛІВ.

Матеріал цього розділу присвячено дослідженню еліптичних рівнянь (найважливішим прикладом якого є рівняння Лапласа та Пуасона), а також особливо важливий з точки зору різних застосувань теорії потенціалу.

ІІІ.1. Побудова фундаментальної функції рівняння Лапласа. Ії фізичний сенс.

Нехай функція - функція багатьох змінних . Тут можна придати сенс вектора , а - його проекцій на вісі. Як відомо, відстань між двома довільними точками та - вимірного простору вводиться за формулою

а для направляючих косинусів є вірною формула . Проілюструємо це наочно для просторового випадку (див.рис.1).

Розглянемо рівняння Лапласа

(ІІІ.1)

де

Покажемо, що функція

є

фундаментальним розв’язком

рівняння (ІІІ.1). Для цього підрахуємо

похідні :

Підрахуємо тепер другу похідну:

(ІІІ.2)

Зображення другої похідної (ІІІ.2) підставимо до рівняння Лапласа (ІІІ.1):

(ІІІ.3)

Якщо у формулі (ІІІ.3) взяти за та врахувати, що то рівняння Лапласа (ІІІ.1) буде задовільнено автоматично, що і означає, що функція є його фундаментальним розв’язком.

Аналогичним чином можна показати, що для випадку фундаментальний розв’язок потрібно брати у вигляді . Доведемо цей факт. Нехай

Знайдемо першу похідну функції:

Для другої похідної функції отримаємо:

Одержані зображення для похідних підставимо до рівняння Лапласа (ІІІ.1), де візьмемо :

Встановимо фізичний сенс побудованого фундаментального розв’язку.

Використаємо закон всесвітнього тяжіння, який проілюструємо на прикладі. Нехай у просторі розташовано два тіла з масами та відповідно, що притягуються одне до одного з силою , абсолютна величина якої прямо пропорціональна масам цих тіл та обратно пропорціональна квадрату відстані між ними: , де

- направляючи орти,

Якщо припустити, що , то ,

Введемо означення потенціалу силового поля. Функція є потенціалом силового поля, якщо її градієнт зображує силу притяжіння одиничної маси до заданої:

.

За цим означенням, як бачимо, фундаментальний розв’язок – це є потенціал силового поля, який визначає тяжіння одиничної маси, що зосереджена у точці до одиничної маси, що зосереджена у точці . Це і визначає фізичний сенс фундаментальної функції.

Наприклад, у випадку маємо:

Розглянемо випадок, коли у точках зосереджені маси . Потенціал, який створюється цими масами та притягуючий одиничну масу, зосереджену у точці , описується за формулою: