ІІІ.5. Формула Гріна і теорема про нормальну похідну гармонічної функції.

Доведення формули Гріна базується на формулі Остроградського.

Нехай функції задано у області , яка обмежена кусково-гладкою поверхнею , а нормаль у будь-який точці цієї поверхні. Тоді формула Остроградського записується у вигляді:

(ІІІ.13)

Формула (3.13) є справедливою, якщо функції , а також . Візьмемо за ці функції таки: , де є також двічі діференціюємими - . Підрахуємо похідні функцій:

після чого проведемо підсумовування:

(ІІІ.14)

Підставимо отриману суму (ІІІ.14) у ліву частину формули Остроградського (ІІІ.3):

(ІІІ.15)

Можна помітити, що . Якщо тепер для функції взяти зображення та провести аналогічні міркування, то отримаємо

( ІІІ.16)

Від формули (ІІІ.15) віднімемо формулу (ІІІ.16):

(ІІІ.17)

Помітимо, що для того, щоб формула Гріна (ІІІ.17) була справедливою, необхідно виконання наступних умов:

.

Слідство. Якщо функція є гармонічною в деякий області, то інтеграл по замкненій області, що цілком лежить в області гармонічності, дорівнює нулеві.

Доведення. Припустимо, що у формулі (ІІІ.18) функція . Нехай - функція, яка є гармонічною в області , отже, . Для функції маємо , а також (бо нормальна похідна зображує собою комбінацію основних частинних похідних, які дорівнюють нулеві). Виходячи з формули Гріна, отримаємо

. (ІІІ.18)

ІІІ.6. Інтегральне зображення гармонічної функції.

Нехай - функція, гармонічна у області , що обмежена поверхнею , тобто , для будь-якої точки . Нехай - фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа, тобто, , якщо . У випадку, коли точка лежить у області , то з метою використання формули Гріна потрібно виключити цю точку з області , обмежуючи ії сферою радіуса . Введемо позначення: (це є вся область усередині сфери та на її поверхні), . У області використання формули Гріна є справедливим. Будемо враховувати, що поверхня області складається з двох частин та . Тоді формула Гріна (ІІІ.17) набуває вигляду:

. (ІІІ.19)

За умовою маємо, що ; оскільки сфера, що містить точку , виключена з розгляду, то . Розглянемо докладніше другий доданок правої частини формули (ІІІ.19), який запишемо у формі

(ІІІ.20)

Введемо сферичну систему координат з центром у точці . Напрямок збільшення змінної (у цієї системі координат це є радіус сфери) протилежен напрямку нормалі. Тоді

,

та отже,

.

Тут маємо підкреслити, що похідна підраховується у точках сфери .

У формулі (ІІІ.20) застосуємо теорему про середнє

(ІІІ.21)

та отримаємо наступне співвідношення:

, (ІІІ.22)

де .

Для того, щоб перейти до розгляду всієї області , зробимо у формулі (ІІІ.21) перехід до межі, прямуючи до нуля:

.

(Тут враховано, що, оскільки - це є довільна точка на сфері , при ).

Тоді формула Гріна буде записуватися у вигляді

(ІІІ.23)

У випадку, коли , співвідношення (ІІІ.23) набуває форму:

(ІІІ.24)