ІІІ.9. Властивості поверхневих потенціалів. Поверхні Ляпунова.

Відповідно до того, як були введені потенціали для випадку поверхневого потенціалу простого шару, маємо формулу . У двовимірному випадку він зображується за формулою . Потенціали подвійного шару зображуються наступним чином: - у трьохвимірному випадку, та - у двовимірному.

Як було доведено раніше, якщо точка не належить поверхні та , то усі потенціали є гармонічними функціями.

Проілюструємо на рисунках основні позначення: внутришню область, де функція є гармонічною, позначимо як , зовнішню як , - нормаль.

Для двовимірного випадка – див.рис.2.

Якщо точка належить поверхні , то гармонічність може бути нарушено, бо підінтегральна функція може перетворюватися на нескінченність, тобто буде отримано невласний інтеграл. На питання умов його існування дав відповідь видатний російський вчений О.Г.Ляпунов. Їм було введено для цього нове поняття – поверхні Ляпунова.

Поверхню називають поверхнею Ляпунова, якщо виконано три умови:

1) У кожній точці поверхні існує дотична площина;

2) Якщо у будь-який точці дотику побудувати кулю достатньо малого радіусу, то ця куля ділитиме всю поверхню, на дві – поверхню, що лежить усередині сфери та зовні: . Або іншими словами: якщо з будь-якої точки кулі провести лінію паралельну до нормалі, то вона перетинатиме поверхню тільки один раз (що дозволяє ввести локальну систему координат .

3) Якщо взяти дві точки та на поверхні та провести нормалі до них та , то , де , або .

Таким чином, якщо поверхня є поверхнею Ляпунова, то невласній іетеграл буде існувати.