ІІІ.11. Розривні властивості потенціалу подвійного шару.

Нехай точки належать поверхні . Виберемо точку , що також лежить на цієї поверхні, та побудуємо коло з центром в точці радіуса (див.рис. ). Його поверхню позначимо

Введемо допоміжну функцію (ІІІ.17)

, де , - поверхня Ляпунова.

Покажемо, що, якщо , де - будь-яка мала величина, то має місце оцінка

, (ІІІ.43)

де - як завгодно мале число.

Для доведення цього факту виведемо певні попередні оцінки.

Нехай - деяка частина поверхні . Доведемо оцінку інтеграла . Розглянемо для цього дві функції

(ІІІ.44)

Побудуємо їх різницю та покажемо, що вона може бути як завгодно малою:

(ІІІ.45)

Тут - довільна точка, що може лежати як усередині, так і зовні. Продовжимо міркування у правій частині рівності (ІІІ.45):

(ІІІ.46)

Виходимо з відомої нерівності, що . Враховуючи це, запишемо:

(ІІІ.47)

(ІІІ.48)

Далі отримаємо оцінку останнього доданку у нерівності (ІІІ.47):

(ІІІ.49)

або

Якщо припустимо, що у всійї області густини обмежені, то з цього випливає, що . А якщо , то остаточно отримаємо з урахуванням нерівності (ІІІ.49) :

(ІІІ.50)

Отже, враховуючи отримані оцінки (ІІІ.48) та (ІІІ.50), завершимо оцінку (ІІІ.47):

(ІІІ.51)

Ми показали, що допоміжно введена функція за формулою (ІІІ.42) є неперервною, і можна записати її у формі:

(ІІІ.52)

або

(ІІІ.53)

Розглянемо три випадки розташування точки :

1) Якщо , то , звідки маємо

2) Якщо , то , звідки маємо .

3) Якщо - ,

У випадку, коли належить поверхні, можемо взяти . Матимемо значення потенціалу , яке називають прямим значенням потенціалу.

Розглянемо предельні значення. З формули 2) випливає, що, якщо (тобто підходом до неї з боку ) (так як ), то можна записати . З іншого боку, з 1) випливає, що , якщо підходимо до точки з боку області . Отже. маємо

(ІІІ.54)

Співвідношення (ІІІ.54) визначає стрибок потенціалу подвійного шару під час переходу через поверхню.