Сравнение двух групп. Критерий Манна-Уитни.

Порядок расчёта.

1. Данные обеих групп объединяют и упорядочивают по возрастанию. Ранг 1 присваивается наименьшему из всех значений, ранг (n₁+n₂) – наибольшему. Если значения совпадают им присваивают один и тот же средний ранг (например, 3 и 4 место – ранг (3+4)/2 = 3,5; 6,7,8 место – ранг (6+7+8)/3 = 7).

2. Для меньшей группы вычисляют Т – сумму рангов её членов. Для Т-критерия Манна-Уитни она и будет являться экспериментальным значением критерия. Для U-критерия вычисляют , где n_м – численность меньшей из групп.

3. Экспериментальное значение сравнивается с критическими, определяемым по соответствующим статистическим таблицам, исходя из требуемого уровня значимости и численности групп. Если экспериментальное значение меньше или равно первому критическому или больше либо равно второму, то нулевая гипотеза отвергается.

В таблице критических значений критерия Манна-Уитни приведены значения для численностей групп до 8 человек. При численности групп больше 8, распределение Т приближается к нормальному со средним

и средним квадратическим отклонением

, где n_м и n_б – численность меньшей и большей групп.

Если некоторые значения совпадают, стандартное отклонение должно быть уменьшено согласно формуле:

, [1]

где , - число значений i-го ранга, а суммирование проводится по всем совпадающим рангам.

В таком случае величина

(с поправкой Йейтса на непрерывность )

имеет нормированное нормальное распределение (со средним 0 и средним квадратическим отклонением 1). Это позволяет сравнить z_T с критическими значениями нормального распределения: , , .

Пример 1:

Данные по сравниваемым группам приведены в следующей таблице. Сравниваемый показатель порядковый, принимает три возможных значения: 1 – низкое; 2 – среднее; 3 – высокое.

Наименьшее значение 1, в объединённой группе три человека имеют это значение. Значит, у каждого средний ранг будет: (1+2+3)/3 = 2. Далее на 4, 5 и 6 местах располагаются значения показателя равные 2, следовательно, средний ранг будет (4+5+6)/3 = 5. И наконец, для людей со значением показателя равным 3 ранг составит – (7+8+9)/3 = 8.

Сумма рангов для наименьшей по численности группе (это группа 2) равна 23, т.е. Т_эксп = 23.

По таблице критических значений находим: Т_кр1 (n_м = 4, n_б = 5, a = 0,063) = 12; Т_кр2 (n_м = 4, n_б = 5, a = 0,063) = 28.

Для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу экспериментальное значение должно быть либо меньше первого критического значения, либо больше второго. В нашем случае, Т_кр1 < Т_эксп < Т_кр2, таким образом нулевую гипотезу об отличии сравниваемых групп отвергнуть нельзя.

Пример 2.

В исследовании когнитивных функций, рассмотренном в «описательной статистике» 32 ребёнка представляли контрольную группу, 40 экспериментальную. Сравнить две группы по времени выполнения задания.

Данные представлены в таблице:

При описании данных контрольной группы было получено несимметричное распределение показателя. Кроме того, показатель измерен достаточно грубо, с точностью до 5 с, соответственно возможных значений будет немного. Поэтому для сравнения воспользуемся критерием Манна-Уитни. Расчет рангов представлен в таблице:

Время выполнения 1-го задания по табл. Шульте, с
Контрольная группа
Экспериментальная группа
Накопленные частоты
Ранг						26,5		38,5		51,5	55,5			66,5	68,5		71,5

Для определения рангов воспользуемся накопленными частотами, показывающими общее количество данных в данной ячейке и во всех предыдущих по обеим группам (данные объединяются при вычислении рангов). По ним видно, какие места будут занимать соответствующие значения. Итак, минимальное значение 30 имеет в объединённой группе 1 человек, соответственно присваиваем ему ранг 1, следующее значение 35 – также один человек – ранг 2. Следующее значение 40 имеет 5 человек, накопленная частота в этой ячейке 7, предыдущее значение 2, следовательно, места, которые они занимают - 3,4,5,6,7 и средний ранг для этого значения (3+4+5+6+7)/5 = 5. Аналогично, ранг для значения 45 – (8+9+10)/3 = 9; ранг для значения 50 – (11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23)/13 = 17 и так далее.

Вычисляем сумму рангов для меньшей по численности, т.е. контрольной группы с учётом повторяющихся значений:

Т = 1*1+2*1+5*3+9*1+17*4+26,5*2+32*5+38,5*3+46*3+51,5*3+ 55,5*1+60*1+64*1+66,5*1+68,5*1+71,5*1 = 1102.

Численность групп больше 8, поэтому для проверки нулевой гипотезы перейдём от Т к z_T.

.

Среднее квадратическое отклонение вычисляем с учётом совпадающих значений, в этом случае в формулу входит , где - число значений i-го ранга, суммирование производится по всем совпадающим рангам. Таким образом, для всех частот больших в объединённой группе (повторяющиеся ранги) вычислим произведение и запишем результат в общей таблице. Для частоты 3, например это будет (3-1)*3*(3+1)=2*3*4=24.

Итак,

Как видим, совпадающие значения уменьшают среднее квадратическое отклонение незначительно.

.

Критическое значение для уровня значимости 0,05 – . Таким образом, экспериментальное значение меньше критического и можно считать сравниваемые группы детей не отличающимися по времени выполнения первого задания по таблице Шульте.