U – критерий Манна-Уитни

Критерий непараметрический. Предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественного измеренного. Является более мощным, чем критерий Розенбаума.

В данном критерии определяется, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Чем она меньше, тем более вероятно, что различия между выборками достоверны.

Ограничения критерия: 1) n₁,n₂³3; 2) n₁,n₂£60.

Эмпирическое значение критерия вычисляется по формуле:

n1 – количество испытуемых в выборке 1; n2 – количество испытуемых в выборке 2; Tx – большая из ранговых сумм; nx – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

Ранговые суммы находятся следующим образом. Упорядочиваются значения 1 и 2 выборки по убыванию. Располагаем их соответственно в 1 и 2 ряды. Далее ранжируем все значения как единую выборку, приписывая минимальному значению наименьший ранг. Следующий шаг - выписываются отдельно ранги 1 и 2 ряда и подсчитывается сумма рангов 1 ряда Т₁ и соответственно 2-го ряда – Т₂.

Критические значения критерия U можно определить по таблице 2 приложения 2.

Различия между выборками считаются достоверными, если Uэмп£U_0,01; незначимыми, если Uэмп>U_0,05; достоверными на 5% уровне, если U_0,01 <U_эмп £U_0,05.

Пример. С учащимися 5 класса (10 человек) и 6 (12 человек) проводился эксперимент на продуктивную классификацию. Предлагалось 10 несвязанных между собой слов. Необходимо было объединить эти слова в группу по какому-то общему признаку (признак необходимо назвать). В группу может входить от двух до 10 слов. Причем одно слово может входить в разные группы. Результаты эксперимента представлены в таблице 17.

Различаются ли учащиеся 5 и 6 классов по показателю продуктивной классификации?

Таблица 17

Результаты исследования продуктивной

классификации учащихся 5 и 6 классов

Решение: Данные представлены в интервальной шкале; 3<n₁=10 и n₂=12 < 60;

Следовательно, для решения данной задачи мы имеем право применять критерий U.

Таблица 18

Упорядоченные индивидуальные значения учащихся 6 и 5 классов по показателю продуктивной классификации и их ранги

Для вычисления необходимо упорядочить данные по убыванию. При этом значения выборки, где данные предположительно выше, записываются в 1-й ряд, а где – ниже, соответственно во 2-й ряд. Так, в нашем случае, 1 ряд – значения учащихся 6 класса, 2 ряд – 5 класса (таблица 18).

Сформулируем экспериментальную гипотезу: учащиеся 6 класса превосходят учащихся 5 класса по показателю продуктивной классификации.

Проранжируем все значения как единую выборку, приписывая минимальному значению наименьший ранг (3 столбик таблицы 18). Так, значению 4, как самому наименьшему в обеих выборках, приписывается ранг 1,5, так как и в той и в другой выборке оно встречается по одному разу, а в общей сложности два раза.

Таблица 19

Ранги 1 и 2 рядов по таблице 18

Выпишем отдельно ранги 1 и 2 ряда (таблица 19) и подсчитаем сумму рангов 1-го ряда Т₁= 149,5 и соответственно 2-го ряда – Т₂=103,5. Наибольшую ранговую сумму обозначим Т_х=Т₁=149,5. Следовательно, n_x=12. Подставим все значения в формулу критерия и получим U_эмп=48,5. По таблице 2 приложения 2 найдем критические значения критерия для n₁=10 и n₂=12: U_0,01=24, U_0.05=34. U_эмп>U_0,05Þ экспериментальная гипотеза не подтверждается.

Ответ: Учащиеся 6 класса не превосходят учащихся 5 класса по показателю продуктивной классификации.