L - критерий Колмогорова-Смирнова
Критерий применяется в двух случаях:
1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим – равномерным, нормальным или каким-то иным;
2) для сопоставления двух эмпирических распределений одного и того же признака.
Критерий отвечает на вопрос о том, велика ли максимальная разность между накопленными относительными частотами двух распределений.
Ограничения:
1) при сравнении двух эмпирических распределений n1,2³50, при сравнении эмпирического с теоретическим n³5.
2) разряды должны быть представлены хотя бы в ранговой шкале и должны быть упорядочены либо по возрастанию, либо по убыванию.
Вычисления:
1) Эмпирического распределения с теоретическим равномерным.
Для этого лучше воспользоваться таблицей 39.
Таблица 39
Разряды | fэj | fт | fэj* | fт* | fэj*cum | fтj*cum | d |
Здесь в 1 столбце даются наименования разрядов,
во 2 столбце даются эмпирические частоты по каждому разряду fэj, где j меняется от 1 до k,
в 3 столбце теоретическая частота, одинаковая для каждого разряда и вычисленная по формуле: fт=n/k,
в 4 столбце находится относительная частота эмпирического распределения по каждому разряду по формуле: fэj*= fэj/n,
в 5 столбце находится относительная частота теоретического распределения по формуле: fт*= fт/n,
в 6 столбце найдем относительную накопленную частоту эмпирического распределения по каждому разряду по формуле: fэj*cum= fэ(j-1)*cum+ fэj*,
в 7 столбце найдем относительную накопленную частоту теоретического распределения по каждому разряду по формуле: fтj*cum= fт(j-1)*cum+ fтj*,
в 8 столбце найдем разность между 6 и 7 столбцом по модулю по формуле:
d=| fэj*cum - fтj*cum |
Далее определим, в каком разряде наибольшее значение разности, и сравним его с критическим, определенным по таблице 6 приложения 2 для данного n.
Если dmax>d0,01, то эмпирическое распределение отличается от теоретического, если dmax £ d0,05, то эмпирическое распределение не отличается от теоретического, если d0,05< dmax £ d0,01, то отличие эмпирического распределения от теоретического значимо на 5% уровне.
Пример. С учащимися 3-х классов проводилось исследование уровня притязаний. Предлагалось 12 мыслительных задач (матрицы Равена) разной степени сложности (номер соответствовал степени сложности). Можно ли утверждать, что в этом возрасте первый выбор равномерно распределяется по всем номерам задач.
Решение: n=39 это больше 5. Разрядные интервалы представлены количественно и упорядочены по возрастанию, следовательно, можно применять кр. λ.
Таблица 40
Количество учащихся, выбравших данный номер задания и расчет критерия l
№ задач | fэj | fт | fэj* | fт* | fэj*cum | fтj*cum | d |
3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 | 0.1282 0.1026 0.1282 0.1795 0.282 0.0513 0.0513 0.0769 | 0.0833 0.0833 0.0834 0.0833 0.0833 0.0834 0.0833 0.0833 0.0834 0.0833 0.0833 0.0834 | 0.1282 0.2308 0.359 0.5385 0.8205 0.8205 0.8718 0.9231 0.9231 | 0.0833 0.1666 0.25 0.3333 0.4166 0.5 0.5833 0.6666 0.75 0.8333 0.9166 | 0.0449 0.0642 0.109 0.2052 0.4039 0.3205 0.2885 0.2565 0.1731 0.1667 0.0834 |
Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение первого выбора в 3 классе всех степеней сложности задач является равномерным.
Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 40, где fт=39/12=3,33. dmax=0.4039 Для n=39 определяем по таблице 6 приложения 2. d0,01=0.2574, d0,05=0.2147
dmax> d0,01 Þ распределение не является равномерным.
Ответ: В 3 классе учащиеся неравномерно при первом выборе избирают разной сложности номера задач.
2) При сравнении эмпирического распределения с эмпирическим:
Вычисления также произведем с помощью таблицы 41.
Таблица 41
Разряды | fэ1j | fэ2j | fэ1j* | fэ2j*2 | fэ1j*cum | fэ2j*cum | d |
Вычисления аналогичны предыдущему случаю, только вместо теоретической частоты записывается частоты второго эмпирического распределения.
После нахождения максимальной разности dmax вычисляется значение критерия по формуле: |
Если l>1,63, то одно эмпирическое распределение отличается от другого, если l£1,36, то первое эмпирическое распределение не отличается от второго, если 1,36< l£1,63, то отличие двух эмпирических распределений друг от друга значимо на 5% уровне.
Пример. С учащимися 3 класса проводилось исследование на умение обобщать по тесту «пятый лишний» на вербальном и невербальном материале с одинаковым количеством заданий. За каждое правильно выполненное задание ставился балл. Результаты сгруппированных данных представлены в таблице 41. Различается ли распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе?
Решение: n1=60 и n2=60 это больше 50. Разрядные интервалы представлены количественно и упорядочены по возрастанию, следовательно, можно применять критерий λ.
Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе отличаются.
Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 42.
Таблица 42
Распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе и расчет критерия l
Балл | fэ1j | fэ2j | fэ1j* | fэ2j*2 | fэ1j*cum | fэ2j*cum | d | |
0,05 | 0,02 | 0,05 | 0,02 | 0,03 | ||||
0,08 | 0,07 | 0,13 | 0,09 | 0,04 | ||||
0,2 | 0,1 | 0,33 | 0,19 | 0,14 | dmax | |||
0,18 | 0,2 | 0,51 | 0,39 | 0,12 | ||||
0,17 | 0,28 | 0,68 | 0,67 | 0,01 | ||||
0,15 | 0,17 | 0,83 | 0,84 | 0,01 | ||||
0,1 | 0,08 | 0,93 | 0,92 | 0,01 | ||||
0,05 | 0,05 | 0,98 | 0,97 | 0,01 | ||||
0,02 | 0,03 |
l£1,36 Þ экспериментальная гипотеза отвергается.
Ответ: распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе не различается.
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 1659;