Применение смешанного произведения
Трех векторов
Смешанное произведение векторов применяется:
1. Для выяснения компланарности трех векторов:
векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда .
2. Для вычисления объема параллелепипеда: (рис. 27).
3. Для вычисления объема треугольной призмы:
(рис. 28).
4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):
(рис. 29).
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислите , если .
2. Докажите, что если || , то .
3. Выясните, какой является тройка векторов , , (левой или правой).
4. Докажите, что векторы , , , удовлетворяющие условию
,компланарны.
5. Найдите объем треугольной призмы АВСА1В1С1, если , , .
6. Найдите объем тетраэдра ABCD, если , , .
Метод координат
На плоскости и в пространстве
Лекция 7
Аффинная и прямоугольная декартова
Системы координат
Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
Систем координат
Четверка, состоящая из точки О и базиса , , в пространстве, называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается или (рис. 30).
Точка О называется началом координат, векторы , , - координатными векторами: - первый координатный вектор, - второй,- третий.
Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:
- ось абсцисс;
- ось ординат;
- ось аппликат (рис. 31).
Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, Оz.
Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и Оz, Ох и Оz, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Oxz, а систему координат иногда обозначают Oxyz.
Пусть - аффинная система координат, М – произвольная точка пространства. Вектор называется радиус-вектором точки М относительно точки О(рис. 32).
Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.
Координатами точки М в системе координатназываются координаты ее радиус-вектора в базисе , , .
Обозначение или просто М(х;у;z): х – абсцисса точки М, у – ордината, z – аппликата.
Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у;z) действительных чисел.
Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у;z).
1) Если z=0, то М(х;у;0) Þ Þ . Верно и обратное: Þ z=0.
2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то , и наоборот, если , то у=0.
3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то , и наоборот, если , то х=0.
4) Если z=0 и у=0, то и Þ Þ . Верно и обратное: Þ z=0 и у=0.
Докажите самостоятельно, что:
5) Если х=0 и у=0, то и наоборот, если , то х=0 и у=0.
6) Если х=0 и z=0, то и наоборот, если , то х=0 и z=0.
7) Так как , то из пунктов 1) – 3) следует, что О(0;0;0) в системе координат .
Чтобы построить точку М(х;у;z) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М1(х;0;0), затем точку М2(х;у;0), а затем точку М(х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 33. Ломаная ОМ1М2М называется координатной ломаной точки М.
Система координат называется прямоугольной декартовой, если ее базис является ортонормированным. Обозначение прямоугольной декартовой системы координат: или , где
, , и .
Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.
Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки О (начала координат) и двух базисных векторов и (координатных векторов) (рис. 34). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 35.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 2066;