Основные аффинные задачи
1. Координаты вектора, заданного двумя точками.
Теорема 1. Если в аффинной системе координат и , то .
Представим вектор в виде разности векторов и :
.
Так как , то по определению координат точки . Аналогично . Применяя свойство координат векторов (координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат), получаем, что вектор имеет координаты Þ .
2. Деление отрезка в данном отношении.
Говорят, что точка М делит направленный отрезок в отношении, если выполняется векторное равенство:
. (1)
Число при этом называется простым отношением трех точек М1, М2 и М. Простое отношение трех точек М1, М2 и М обозначается так: .
Почему в определении деления отрезка в данном отношении ?
Пусть М1 М2 и точка М делит направленный отрезок в отношении l=-1. Тогда по определению деления отрезка в данном отношении
,
т.е. Þ Þ . А так как начало у векторов и общее и они равны, то М1=М2. Получили противоречие с условием, следовательно, .
Из векторного равенства (1) следует, что если , то , т.е. точка М совпадает с точкой М1; если l>0, то точка М лежит внутри отрезка (рис. 36), т.е. ; если l<0, то точка М лежит на прямой вне отрезка (рис. 37), т.е. или .
Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат , . Тогда координаты точки , делящей направленный отрезок в отношении , находятся по формулам:
; ; . (2)
По определению деления отрезка в данном отношении .
По теореме 1 , . Тогда . Так как два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, то ; ;
, откуда получаем: ; ; .
Формулы (2) называются формулами деления отрезка в данном отношении в координатах.
Из теоремы 2 получаем
Следствие. Если М(х;у;z) – середина отрезка М1М2 с концами и , то , , .
Так как М – середина М1М2, то Þ l=1. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении в координатах, получаем:
, , .
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 701;