Смешанного умножения векторов

Г10. , , компланарны.

Пусть . Тогда .

По определению векторного произведения и .

Следовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны.

Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны.

, Þ , а так как || , то Þ ,

т.е. .

Г20 (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , , - правая, , если тройка , , - левая.

Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25).

. Пусть .

 


Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26).

Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.

 

 


 

 

а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис , , , то (рис. 26, а) Þ < 900 Þ cos >0 Þ Þ Þ .

Итак, .

б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то (рис. 26, б) Þ > 900 Þ Þ Þ .

Итак, .

Из пунктов а) и б) следует, что .








Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 569;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.