Смешанного умножения векторов
Г10. , , компланарны.
Пусть . Тогда .
По определению векторного произведения и .
Следовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны.
Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны.
, Þ , а так как || , то Þ ,
т.е. .
Г20 (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , , - правая, , если тройка , , - левая.
Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25).
. Пусть .
Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26).
Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.
а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис , , , то (рис. 26, а) Þ < 900 Þ cos >0 Þ Þ Þ .
Итак, .
б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то (рис. 26, б) Þ > 900 Þ Þ Þ .
Итак, .
Из пунктов а) и б) следует, что .
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 575;