Векторное произведение векторов
Будем предполагать, что пространство является ориентированным. Следуя традиции, считаем, что ориентация задана классом эквивалентности, базисы которого удовлетворяют условию: если их векторы отложены от одной точки, то кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму из конца третьего виден против движения часовой стрелки. Такие базисы мы называем правыми (см. § 6).
Определение 1. Под векторным произведением двух неколлинеарных векторов и будем понимать третий вектор , удовлетворяющий следующим условиям :
1. Его модуль равен произведению длин сомножителей, умноженному на синус угла между ними
2. Вектор перпендикулярен сомножителям и .
3. Тройка векторов , , имеет правую ориентацию.
Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.
Свойство1. Если сомножители векторного произведения неколлинеарны, то его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях.
Свойство 2. Векторное произведение равно нулевому вектору в том случае, когда ïï .
Свойство 3. Для любых векторов и справедливо следующее соотношение: (свойство антикоммутативности).
Свойство 4. Для любых векторов и и любого числа справедливы соотношения: .
Свойство 5. Для любых векторов , и . справедливы соотношения:
Определение 1. Смешанным произведение векторов и называется скалярное произведение вектора на векторное произведение .
Смешанное произведение векторов и будем обозначать через . Итак,
Cвойство 1. Смешанное произведение векторов в том и только в том случае равно нулю, когда сомножители компланарны.
Если векторы и . некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов , - правая и отрицательно, если эта тройка левая.
Свойство 3. Для любых векторов , и справедливы следующие соотношения: ,
Свойство 4. Для любых векторов , и любого числа a справедливы следующие соотношения:
Пример. Противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны между собой. Доказать, что суммы квадратов длин противоположных ребер равны друг другу.
Решение. Пусть АВСD - данный тетраэдр (рис. 37). Обозначим векторы и через и . Тогда , . Нам следует доказать, что = . Рассмотрим равенство: . Докажем справедливость этого соотношения, преобразив его в истинное равенство. Раскроем в этом равенстве скобки: = . Отсюда следует, что , или . Последнее равенство является истинным, так как его можно записать в виде , а по условию нам дано, что противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Аналогично доказывается, что
Дата добавления: 2016-02-02; просмотров: 1736;