Базис системы векторов

Определение. Система векторов , , называется линейно зависимой, если существуют такие константы , , , не все равные нулю, что имеет место равенство

.

Если из этого равенства с необходимостью следует, что если , то система называется линейно независимой.

Определение. Базисом в 3-х мерном пространстве называется любая упорядоченная система из трех линейно независимых векторов пространства (см стр. 77, § 2).

Теорема IV.1. Векторы , , Î L³ образуют базис тогда и только тогда, когда

D¹0, где .

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть векторы образуют базис, тогда по определению эти векторы линейно независимые, а следовательно, равенство

,

которое эквивалентно однородной системе

выполняется только в случае . Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное нулевое решение только в том случае, когда

.

По 1-му свойству определителей получаем

.

Необходимость доказана.

2) Достаточность. Пусть для векторов , , пространства L³ выполняется

.

Проверим линейную независимость векторов , составим равенство , рассмотрим однородную систему уравнений

так как определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, не равен нулю, т.е.

,

то эта система имеет единственное нулевое решение, по определению, векторы образуют систему линейно независимых векторов, а, следовательно, и базис в пространстве L³. Теорема доказана.

Если векторы , , образуют базис, а вектор представляется в виде , тогда числа , , называются координатами вектора в базисе , , , то есть .

Пример IV.3. Даны три векторы , , . Показать, что они образуют базис, и найти разложение вектора в этом базисе.

Решение.Покажем, что вектора , , образуют базис. Вычислим определитель, составленный из координат этих векторов:

.

Так как D¹0, то, по теореме IV.1, векторы , , образуют базис. Отсюда получаем разложение вектора по базисным векторам , , :

Û .

Чтобы найти координаты , , вектора в новом базисе, необходимо найти решение следующей системы уравнений:

Решим эту систему методом Крамера, имеем

, ,

, .

Так как D¹0, то система совместна и имеет единственное решение: , , . То есть

.

Определение. Совокупность всех 3-х мерных векторов с действительными координатами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, образует 3-х мерное векторное пространство.