Деление отрезка в данном отношении

Рассмотрим в пространстве вектор (рис. IV.7). Пусть M – внутренняя точка направленного отрезка, тогда . Число l называется отношением, в котором точка M делит отрезок .

Вычислим координаты точки , которая делит отрезок в отношении l, где , .

Учитывая формулы (IV.8 а) – (IV.8 в), получаем

.

Приравнивая последовательно дроби к числу l, будем иметь

, , . (IV.10)

Формулы (IV.10) называются формулами деления отрезка в отношении l.

Пример IV.1. Для деления отрезка пополам, полагая , получаем координаты точки .

Замечание. Для положительных значений l точка M лежит между точками M₁ и M₂, для отрицательных – вне отрезка . Для формула (IV.10) не имеет смысла.

Упражнение. Получить формулы (IV.5), используя преобразование подобия.

Пример IV.2. Начало вектора находится в точке , конец в точке . Найти координаты вектора , его длину и направление.

Решение. Для того, чтобы найти координаты вектора ,нужно от координат конца вычесть координаты начала вектора:

.

Найдем длину вектора: .

Теперь по формулам (IV.10) имеем: , , .