Проекция вектора на ось

Прямая с заданной на ней точкой и единичным базисным вектором называется осью.

Ортогональной проекцией точки A на ось называется точка пересечения оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку А.

Пусть в пространстве задана направленная прямая l. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки М на ось. Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М (рис. IV.4).

Рис. IV.4

Пусть – произвольный вектор. Проекцией вектора на ось l называется координата вектора относительно единичного вектора оси, где А₁ и В₁ – проекции точек A и B на ось l, то есть если , то число l называется проекцией вектора на ось l, в направлении . Обозначение для проекции: .

Из правил сложения векторов и умножения вектора на число, заданных своими координатами, следует, что:

, где .

Легко показать, что , где j – угол между векторами и , отсчитываемый по правилам тригонометрии: от вектора против часовой стрелки до вектора .

Следует помнить:проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.

Действия над векторами, заданными проекциями, выполняются аналогично действиям над матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Рассмотрим 3-х мерное линейное пространство L и (рис. IV.5). Введем декартову систему координат Oxyz. Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов , , :

. (IV.1)

Проекцией вектора на ось Ox называется величина направленного отрезка и записывается .

Так как, по определению, , то если – угол между осью Ox и вектором , то

. (IV.2)

Аналогично определяются проекции вектора на другие оси.

Рис. IV.5.

Сопоставляя (IV.1) и (IV.2) и учитывая, что проекция есть направленный отрезок (если , то ), то

, , .

Заметим, что , получаем

, , . (IV.3)

, , называются направляющими косинусами. Возводя в квадрат и складывая, получим

,

то есть сумма квадратов направляемых косинусов равна 1:

. (IV.4)

Пусть углы вектора с осями Ox, Оу, Оz соответственно равны a, b, g. По свойству проекции вектора на ось имеем:

, , .

или, что то же самое:

, , . (IV.5)

Числа , , называются направляющими косинусами вектора ( ).