Векторное произведение двух векторов,
его свойства и применение*
Векторным произведениемвекторов и (рис. 10) называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) модуль вектора равен , где – угол между векторами и , т.е. численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах;
2) вектор ортогонален векторам и ;
3)векторы , и в указанном порядкеобразуют правую тройку векторов, т.е. если смотреть на векторы и с конечной точки вектора , то кратчайший поворот от к будет осуществляться против часовой стрелки.
Обозначается векторное произведение как ,или .
Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1. ;
2. , если или = , или = ;
3. (l )´ = ´(l )=l( ´ );
4. ´( + ) = ´ + ´ .
В частности, векторное произведение единичных векторов , образующих прямоугольный базис, определяется по следующей схеме (рис. 11):векторное произведение совпадающих сомножителей равно нулю; векторное произведение несовпадающих сомножителей равно третьему не задействованному в произведении орту, взятому с положительным знаком, если направление кратчайшего поворота от первого сомножителя до второго совпадает с направлением часовой стрелки, и со знаком минус в противном случае.
´ | |||
В координатной форме векторное произведение векторов и равно:
´ = .
Применение векторного произведения векторов.
1.Проверка векторов на коллинеарность. Если , то и наоборот.
Пример 1.Проверить векторы и на коллинеарность.
Решение.Запишем векторы в координатной форме (2; 5; 1), (1; 2;–3)и найдем их векторное произведение:
.
Так как , то эти векторы не коллинеарны.
2. Нахождение площадей параллелограмма и треугольника. Согласно определению векторного произведения векторов и модуль этого произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е.
,
а значит площадь соответствующего треугольника будет равна
.
Пример 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
Решение. Площадь параллелограмма определяется по формуле
. Найдем .
Тогда (ед.2).
Пример 3. Вычислить площадь треугольника с вершинамиА(2;2;2), В(4; 0; 3),С(0; 1; 0).
Решение.Найдем координаты векторов и :
или
или .
Тогда
а его модуль равен
Следовательно, площадь треугольника равна (ед.2).
3. Определение момента силы относительно точки.*Пусть в точке А приложена сила и пусть О – некоторая точка пространства (рис. 12).
Из физики известно, что моментом силы относительно точки О называется вектор , который проходит через точку О и удовлетворяет следующим условиям:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо:
;
3) образует правую тройку векторов с векторами и .
Из вышесказанного можно сделать вывод, что
.
Пример 4.Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке .
Решение.Определим координаты вектора , Момент силы относительно точки А найдем как
, .
Тогда величина момента силы равна модулю вектора .
Литература: [3, гл.2, п. 12.12]; [4, гл. 2, §7].
Дата добавления: 2015-12-11; просмотров: 1167;