Первого порядка

Частной производной по переменной х функции в точке называется предел

(18.1)

если он существует.

Производную (18.1) обозначают также

Частной производной по переменной у функции в точке называется предел

(18.2)

если он существует.

Производную (18.2) обозначают также

Если частные производные определены на множестве и то они являются функциями двух переменных

Для функции трех переменных в случае их существования, аналогично определяют три частные производные

Полным приращениемфункции в точке называется разность

где – приращения аргументов.

Функция называется дифференцируемой в точке если полное приращение функции в этой точке можно представить в виде

(18.3)

где А, В – некоторые числа; – бесконечно малые при

Если функция дифференцируема в точке М₀, то в формуле (18.3)

Главная часть полного приращения (формула (18.3)) дифференцируемой функции называется дифференциаломэтой функции и обозначается dz:

(18.4)

Для независимых переменных х и у дифференциалы совпадают с их приращениями:

Дифференциал функции двух переменных вычисляется по формуле

(18.5)

Дифференциал функции трех переменных вычисляется по формуле

(18.6)

При достаточно малых и для функции , дифференцируемой в точке и ее окрестности, имеет место приближенное равенство

(18.7)

Для функции трех переменных (в случае дифференцируемости в точке М₀ и малых приращениях независимых переменных) справедливо:

(18.8)

Пример 1. Вычислить и функции

Найти значения частных производных в точке (–1, 1).

Решение. Зафиксируем у, вычислим производную по х, пользуясь правилами дифференцирования (условно считаем y = const):

Тогда

Зафиксируем х, вычислим производную по у:

Тогда

Пример 2.Найти частные производные функции

Решение.Фиксируя у и z, вычислим производную по х:

Зафиксируем x и z и аналогично вычислим производную по y:

Зафиксируем x и y и вычислим производную по z:

Пример 3.Найти dz функции

Решение. Используя формулу (18.5), найдем частные производные:

Тогда

Пример 4.Найти функции

Решение.Используя формулу (18.6), вычислим частные производные:

Тогда

Подставим

Получим:

Пример 5. Вычислить приближенно

Решение.Используем формулу (18.7). Рассмотрим функцию и найдем ее значение при

Вычислим значения частных производных функции f в точке (0; 1).

Приращения аргументов

Тогда по формуле (18.7) имеем:

Пример 6. Вычислить приближенно

Решение.Рассмотрим функцию и найдем ее значение при Имеем:

Вычислим значения частных производных в точке (1; 3; 0):

Приращение аргументов

Используя далее формулу (18.8), получаем: