Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением

Тогда уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

(18.16)

где

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости в этой точке.

Уравнение нормали к поверхности (18.16) в точке имеет вид:

(18.17)

Если поверхность задана уравнением

(18.18)

и в точке этой поверхности существуют частные производные не равные нулю одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности (18.18) в точке имеет вид:

(18.19)

Уравнение нормали к поверхности (18.18) в точке имеет вид:

(18.20)

Пример 1. Поверхность задана уравнением Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

Решение.Найдем частные производные:

Их значения в точке равны

Найдем соответствующее значение функции для

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:

или

Уравнение нормали:

Пример 2. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение.Частные производные имеют вид:

Их значения в точке N₀ равны:

Тогда уравнение касательной плоскости в точке N₀: или

Уравнение нормали:

Пример 3.Составить уравнения касательных плоскостей к поверхности параллельных плоскости

Решение. Найдем частные производные:

Так как касательная плоскость параллельна плоскости то справедливо условие параллельности плоскостей:

т. е.

Координаты точек касания найдем из системы уравнений

Решая систему, получаем:

Точки касания имеют координаты:

и

Тогда уравнения касательных плоскостей имеют вид:

Пример 4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением где в точке

Решение.Поверхность задана сложной функцией. Найдем частные производные, используя формулы (18.11) (см. § 18.3):

Их значения в точке соответственно равны:

Найдем соответствующее значение

Тогда уравнение касательной плоскости:

или

Пример 5. Записать уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением в точке

Решение.Найдем частные производные и вычислим их в точке N₀:

Уравнение нормали в точке N₀:

или

Равенство нулю означает, что касательная плоскость параллельна оси Ох, а нормаль к ней лежит в плоскости