Дифференцирование неявных функций

Допустим, что функция задана неявно уравнением

(18.12)

и требуется найти

1-й способ. Если практически возможно, из (18.12) выражают явно через и дифференцируют.

2-й способ. Дифференцируют уравнение (18.12), считая и выражают затем

3-й способ. Используют формулу

(18.13)

если

Способы 1–2 были рассмотрены в теории дифференцирования функции одной переменной и не всегда являются рациональными.

Производные неявной функции порядка выше первого находят последовательным дифференцированием формулы (18.13), учитывая, что y – функция от x.

Для нахождения частных производных функции заданной неявно уравнением

(18.14)

используют формулы

(18.15)

при условии, что эти производные существуют и

Пример 1. Для функции заданной неявно уравнением найти всеми возможными способами.

Решение.Используем 1-й способ. Выражаем y через x и дифференцируем по x:

Таким образом,

Используем 2-й способ. Продифференцируем по x заданное уравнение, считая

Отсюда выражаем

или

Используем 3-й способ. Применим формулу (18.13):

По формуле (18.13) получаем:

или

Вывод: способы 2 и 3 оказались наиболее рациональными.

Пример 2. Найти функции заданной неявно уравнением

Решение.Используем 3-й способ.

По формуле (18.13) получаем:

Таким образом,

Пример 3. Найти в точке функции заданной неявно уравнением

Решение.Вычислим по формуле (18.13):

Пусть Вычислим подставив в исходное уравнение:

Тогда

Пример 4. Найти функции заданной неявно уравнением если

Решение.Воспользуемся формулой (18.15) для функции

Вычисляем:

Тогда по формуле (18.15) имеем:

Для заданной точки найдем соответствующее значение Для этого подставим в уравнение, которое задает неявно функцию z: Получаем Подставив значения в выражения и получим