Экстремумы функций двух переменных

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая d-окрестность точки М₀, что для всех точек из этой окрестности (отличных от М₀) выполняется неравенство

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами (локальными), а точка М₀, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

(18.34)

Точки, в которых частные производные существуют и равны нулю, называются стационарными.

Точки из области определения функции, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими точками.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума. Пусть – стационарная точка дважды непрерывно дифференцируемой функции Обозначим:

Тогда:

1) если то функция имеет в точке М₀ локальный экстремум (максимум при и минимум при );

2) если то в точке М₀ функция не имеет экстремума;

3) если то в точке М₀ функция может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (нужны дополнительные исследования).

Допустим, что функция f(x; y) определена на некотором множестве

Число С называют наибольшим значением функции (глобальный максимум) на множестве D, если

записывают так:

Число с называют наименьшим значением функции (глобальным минимумом) на множестве D, если

записывают так:

Теорема Вейерштрасса. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в области нужно:

1) найти критические точки функции, принадлежащие D, и вычислить значение функции в них;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области

3) сравнить все полученные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Если область определения функции не является замкнутой, то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:

1) найти критические точки функции, принадлежащие D;

2) исследовать найденные критические точки на экстремум (локальный);

3) вычислить значения функции в точках локального максимума (минимума) и отобрать среди них наибольшее (наименьшее).

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим частные производные первого порядка:

Приравниваем их к нулю, чтобы найти стационарные точки:

Решая систему уравнений, получим: т. е.

Вычисляем значения частных производных второго порядка в точке М₀:

Тогда Следовательно, в точке экстремума нет.

Пример 2. Найти экстремум функции

Решение.Частные производные первого порядка:

Стационарные точки:

Частные производные второго порядка:

Тогда

Получаем:

Поскольку то в точке функция имеет минимум:

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области ограниченной прямыми

Решение. 1) Вычислим частные производные и найдем критические точки:

Получим: – критическая точка, принадлежащая области

Вычислим в ней значение функции:

2) Исследуем функцию z на границе области (рис. 18.4).

Рис. 18.4

Уравнение границы AB: Подставляем число –3 вместо х в аналитическое задание функции: где

Исследуем полученную функцию, как функцию одной переменной, на наибольшее значение.

Найдем критические точки:

Получаем – критическая точка, при этом

Вычисляем значение функции в точке и на концах отрезка:

Уравнение границы BC: На этом участке уравнение функции имеет вид: где

Поскольку то для получаем критическую точку Тогда

Уравнение границы AC: Тогда где Критическая точка принадлежащая

Вычисляем значение функции для

3) Из всех полученных значений z выбираем наименьшее и наибольшее: