Высших порядков

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка:

(18.21)

(18.22)

(18.23)

(18.24)

Частные производные (18.21–18.24) обозначают также (соответственно)

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и высших порядков.

В частности,

Подобным образом определяются производные высшего порядка функции трех и более переменных.

Частная производная второго порядка и выше, взятая по различным переменным, называется смешаннойчастнойпроизводной.

Дифференциал второго порядка функции определяется формулой

(18.25)

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков.

Справедлива формула

(18.26)

Если функция имеет непрерывные частные производные, и переменные х и у являются независимыми, то дифференциалы второго и третьего порядков вычисляются по формулам:

(18.27)

(18.28)

Для всякого формула вычисления дифференциала порядка по форме записи аналогична формуле бинома Ньютона:

(18.29)

Пример 1. Вычислить частные производные второго порядка функции:

1) 2) в точке

Решение.1) Найдем частные производные первого порядка:

Далее дифференцируем полученные производные по x и по y каждую:

2) Находим частные производные первого порядка:

Полученные равенства дифференцируем еще раз по x и по y:

Найдем значения частных производных в точке

Пример 2. Найти частную производную функции

Решение. Найдем частную производную 1-го порядка

Продифференцировав полученное равенство дважды по z, получим:

Дифференцируем последнее равенство дважды по х:

Пример 3. Найти дифференциал четвертого порядка функции в точке

Решение.По формуле (18.29) имеем:

где – биномиальные коэффициенты, которые найдем по формуле

или по треугольнику Паскаля.

Формула вычисления принимает вид:

(18.30)

Найдем частные производные:

Вычислим значения частных производных в точке

Подставляя все значения в формулу (18.30), получим: