Дифференциалы высших порядков

1. Пусть функция дифференцируема в точке х, тогда .

Допустим, что х является функцией другого аргумента , причем дифференцируема в точке t, т.е. . Рассмотрим сложную функцию .

Найдем ее дифференциал, считая t независимой переменной. Получим

(1).

Получили такое же выражение, как и в первом случае. Однако в (1) теперь не произвольное приращение аргумента х, а дифференциал функции .

Таким образом, формула справедлива и в случае, когда х является функцией другого аргумента. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.

2. Пусть функция дифференцируема в точке х, тогда . Пусть снова дифференцируема в точке х, тогда можно рассматривать дифференциал от в той же точке х, рассматривая как функцию от х.

Определение 1. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциаломфункции в точке х называется дифференциал ее дифференциала в точке х. Пишут .

Таким образом, . При этом , так как и .

Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого и т.д. порядков. По определению имеем .

Найдем дифференциал второго порядка.

.

Методом математической индукции получаем

(1).

Формула (1) при верна только если х – независимая переменная.

Пусть функции и=и(х) и v=v(x) имеют производные до п-го порядка включительно. Тогда

1) .

2) .

Дифференциалы высших порядков свойством инвариантности формы уже не обладают. Покажем это на дифференциале второго порядка.

Пусть . Если х – независимая переменная, то

(2).

Пусть теперь . Найдем для , считая t независимой переменной.

, т.е.

(3).

Контрольные задания по теме:

Вычислить дифференциал 1 и 2 порядков а) , б) .