Производная по направлению. Градиент

Производной функции в точке по направлению называется предел

где

если предел существует.

Если функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле

(18.31)

где – направляющие косинусы вектора

В частности, если – функция двух переменных, то формула (18.31) производной по направлению примет вид:

(18.32)

где – угол между вектором и осью Ох.

Градиентом функции в точке называется вектор

(18.33)

или, то же самое,

Связь между градиентом функции и производной по направлению устанавливает формула

где – угол между векторами и

Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшее значение производной достигаемое в направление градиента, равно

В частности, если – функция двух переменных, то

Пример 1. Найти производную функции в точке по направлению вектора образующего с положительным направлением оси Ох угол

Решение.Используя формулу (18.32),вычислим частные производные функции z в точке A:

Так как то

Пример 2. Найти производную функции в точке по направлению к точке

Решение.Найдем вектор

Его направляющие косинусы равны:

Найдем значения частных производных функции u в точке

Тогда по формуле (18.31) получим:

Пример 3.Найти длину и направление (указать направляющие косинусы) градиента функции в точке

Решение.Вычислим частные производные функции u в точке М.

Используем формулу (18.33) при условии, что частные производные вычисляем в заданной точке

Тогда

Вычисляем длину полученного вектора:

Используем тот факт, что направляющие косинуса равны координатам единичного вектора направления, определяемого вектором дроби. Поэтому