Дифференцирование сложных функций

Пусть где причем имеет непрерывные частные производные, функции имеют непрерывные производные, t – независимая переменная. Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле

(18.9)

Пусть и где x – независимая переменная, причем функция имеет непрерывные частные производные, – непрерывную производную. Тогда справедлива формула полной производной функции z по x:

(18.10)

Пусть и причем функция имеет непрерывные частые производные по x и y, а функции имеют непрерывные частные производные по u и v. Тогда частные производные функции z по u и v находят по формулам:

(18.11)

Формулы (18.9)–(18.11) обобщаются на любое конечное количество переменных (зависимых и независимых).

Пример 1. Найти двумя способами (свести к функции одной переменной t и по формуле (18.9)), если где

Решение. 1-й способ. Подставив вместо x, y заданные выражения, получим: – функцию одной переменной t. Тогда

2-й способ. Найдем частные производные по x и y функции z:

Вычисляем производные функций и

По формуле (18.9) получаем:

Заменив x и y их выражениями через t, получим:

Пример 2.Вычислить в точке если

где

Решение. Находим частные производные заданной функции

Вычисляем

По формуле (18.9) получаем:

Делаем замену переменных:

Вычислим значение в точке

Пример 3. Вычислить различными способами функции где

Решение. 1-й способ. Используем метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем равенство, задающее функцию:

или

Дифференцируем по полученное равенство, считая

Подставляя вместо z и y заданные выражения из условия, получаем:

2-й способ. Найдем частные производные:

Вычисляем производную функции у:

Теперь по формуле (18.10) получаем:

или

Пример 4.Найти функции если

Решение.Используя формулу (18.11), найдем частные производные:

По формуле (18.11) получим:

или

Заметим, что этот пример можно решать и вторым способом – вначале подставить вместо x, y их выражения через u, v, а затем – найти частные производные по u, v.

Пример 5. Найти функции где при