Аппроксимации производных в виде разностных отношений различного порядка точности на основе формулы Тейлора

3.1 Вводные замечания.

При получении простейших аппроксимаций производных в виде разностных отношений различного порядка точности предполагаем, что функция y = f (x) обладает гладкостью, необходимой для получения остаточных членов соответствующего порядка малости. При этом для наглядности будем пользоваться рис. 2.

При построении простейших аппроксимаций производных в виде разностных отношений пользуются следующей терминологией [2, стр. 514 - 515].

- аппроксимация производной (xi) в узле xi сетки, выраженная только через значения функции в узлах x i- 1; xi или только через значения функции в узлах xi, x i+ 1, называется несимметричной аппроксимацией.

- аппроксимация производной (xi) в узле xi сетки, выраженная через значения функции в узлах xi-1, xi, x i+1, называется симметричной аппроксимацией.

Рисунок - 2построение простейших аппроксимаций производных

При выводе формул для простейших аппроксимаций производных мы будем использовать разложение функции y = f (x) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Поэтому кратко напомним некоторые моменты, связанные с разложением функции в ряд Тейлора.

1. Пусть Pn(x) – полином степени n: Pn(x) = a0 + a1x + a2 x2 +… + an xn

тогда, как известно, его можно представить следующим рядом Тейлора [3, стр. 183]:

где x0 – некоторая фиксированная точка.

2. Если вместо полинома Pn(x) взять функцию y = f (x), которая в окрестности некоторой точки x0 (включая саму точку x0) имеет все производные до n-го порядка включительно, то в окрестности точки x0 функция f(x) представима рядом Тейлора [3, стр. 185 - 187]:

где с – некоторая точка, лежащая между точками x0 и x: с Î(x0, x).     (25)

 

В отличие от полинома Pn(x) степени n, выражение (25) для представления функции f (x) рядом Тейлора является точным, только при наличии в этом представлении слагаемого (остаточного члена):

, ~ о( (x - x0)n), при x ® x0.

который при постоянном n и при x ® x0 является величиной о( (x - x0)n), т.е. величиной бесконечно малой порядка выше n-го по сравнению с разностью (x - x0).

 

3.2 Аппроксимации первой производной.

Несимметричная аппроксимация(x)первого порядка точности.

Пусть дважды дифференцируемая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h. Запишем данную функцию y = f (x) в виде ряда Тейлора в окрестности узла xi с точностью до слагаемых второго порядка малости:

, где x Î(x; xi).

Отсюда для (xi), получим:

(26)

Выражение (26) является точным и выражает производную (xi) функции f(x) в узле xi через f(xi) и значение f(x) в окрестности узла xi.

Первым слагаемым правой части равенства (26) является разностное отношение, аппроксимирующее производную вблизи точки xi, а второе слагаемое – это остаточный член (ошибка аппроксимации), характеризующий точность такой аппроксимации.

Зафиксируем в формуле (26) x = xi1, при этом величина x = x i– 1 Î(x i– 1; xi). В этом случае получаем формулу левой аппроксимации производной (xi):

(27)

Аналогично при x = xi+1, x = x i+1 Î(x i; xi+1) и из формулы (26) получаем формулу правой аппроксимации производной (xi):

(28)

При i = 1 и i = 0 из формул (27) и (28) соответственно получаем приближённые равенства:

, x0 Î(x0; x1) (29)

, x0 Î(x 0; x1) (30)

Остаточные члены в формулах (29) и (30) указывают на то, что, пользуясь аппроксимацией (29), (30), мы совершаем ошибку, величина которой ведёт себя как о(h), т.е. эти аппроксимации первой производной имеют первый порядок точности.

 

Симметричная аппроксимация(x)второго порядка точности.

Пусть трижды дифференцируемая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h. Запишем данную функцию y = f (x) в виде ряда Тейлора в окрестности узла xi с точностью до слагаемых третьего порядка малости:

, где x Î(x; xi).

При x = x i+1 и x = x i1 из предыдущего соотношения получим:

, x i+1Î(xi; x i+1)

, x i-1Î(x i1; x i)

Вычитая почленно второе равенство из первого, получим:

откуда Þ

или

(31)

Далее, считаем, что f¢¢¢ (x) является непрерывной на промежутке [x i-1; x i+1].
Поэтому, если f¢¢¢ (x i-1) и f¢¢¢ (x i+1) значения функции f¢¢¢ (x) в некоторых точках промежутков (xi-1; x i) и (xi; x i+1) соответственно, то на [x i-1; x i+1] функция f¢¢¢ (x) принимает и все промежуточные значения между величинами f¢¢¢ (x i-1) и f¢¢¢ (x i+1), а значит, существует такая точка xiÎ(xi-1; x i+1), где функция f¢¢¢ (x) равна:

(32).

Следовательно, используя в формуле (31) равенство (32), приходим к формуле симметричной аппроксимации (xi) с остаточным членом второго порядка малости:

, x iÎ( x i-1; x i+1). (33)

Полученная формула (33) симметричной аппроксимации (xi) имеет второй порядок точности относительно шага h. При этом «основная» часть формулы (33)

при i = 1 совпадает с формулой (19):

 

3.3 Аппроксимации второй производной.

a) Симметричная аппроксимация f¢¢ (x) второго порядка точности.

Пусть достаточно гладкая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h. Запишем представление функции y = f (x) рядом Тейлора в окрестности точки xi с точностью до слагаемых четвёртого порядка малости:

, где x Î(x; xi).

При x = x i+1 и x = x i-1 из предыдущего соотношения получим:

, xi+1Î(xi; xi+1).

, xi1Î(x i1; xi).

Складывая почленно два последних равенства, получим:

(34)

Далее, считаем, что f (4)(x) является непрерывной на промежутке [xi1; xi+1]. Поэтому, если f (4)(xi–1) и f (4)(xi+1) значения производной f (4)(x) в некоторых точках смежных промежутков (xi1; xi) и (xi; xi+1) соответственно, то на [xi1; xi+1] производная f (4)(x) принимает и все промежуточные значения между величинами f (4)(xi–1) и f (4)(xi+1), следовательно, существует такая точка xiÎ(xi1; xi+1), где производная f (4)(xi–1) равна:

, следовательно,

, xiÎ(xi1; xi+1)

Поэтому соотношение (34) можно переписать в виде:

(35)

Выражая из равенства (35) величину f¢¢ (xi) приходим к формуле:

, xiÎ(xi1; xi+1) (36)

Таким образом, формула

определяет симметричную аппроксимацию второго порядка точности для второй производной, погрешность которой определяется остаточным членом:
и является величиной о(h2).

 

b) Несимметричная аппроксимация f¢¢ (x) первого порядка точности.

Пусть достаточно гладкая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h.

Покажем, что соотношение (36), используемое в качестве несимметричной аппроксимации для второй производной f¢¢ (x), т.е. для f¢¢ (xi+1) или для f¢¢ (xi-1), является аппроксимациейпервого порядка точности(а не второго).

Действительно, при всех необходимых оговорках о гладкости функции
y = f (x), в окрестности узла xi вторую производную, т.е. функцию f¢¢ (x) также можно представить рядом Тейлора:

x Î(x; xi) (37)

Подставляя в (37) вместо f¢¢ (xi) правую часть равенства (36) получаем:

(38)

xiÎ(xi1; xi+1), x Î(x; xi).

Из (38) при x = xi-1 и x = xi+1 получаются следующие частные формулы для несимметричной аппроксимации второй производной:

, xi-1 Î(xi-1; xi) (39)

xi+1 Î(xi; xi+1) (40)

погрешности формул (39), (40) определяется выражениями:

, xiÎ(xi1; xi+1), x Î(xi; xi+1),

, xiÎ(xi1; xi+1), x Î(xi-1; xi),

и имеют порядок малости о(h).

§4. Погрешность формул численного дифференцирования.

При выводе формул численного дифференцирования исходную функцию
y = f(x) на интересующем интервале значений [a, b] заменяют интерполирующим полиномом Pn(x), а затем полагают, что при a £ x £ b f¢ (x) = Pn¢(x). Аналогично поступают и при нахождении производных высших порядков.

Если для используемой интерполирующей функции Pn(x) известно выражение для ошибки (погрешности) интерполяции R(x) = f(x) - Pn(x), то, как отмечалось выше, погрешность аппроксимации производной выражается формулой:

R¢(x) = [ f(x) - Pn(x) ]¢ = (x) - Pn¢(x)

Считаем, что дифференцируемая функция y = f(x) задана своими значениями
y(x0), y(x1), y(x2), …, y(xn), на сетке равноотстоящих узлов : x0, x1, x2, …, xn отрезка [a, b], т.е. xi = x0 + ih, где i = 1, 2, …, n, где h > 0 - шаг сетки.

Пусть далее на сетке узлов функцию y = f(x) заменяют первым интерполяционным полиномом Ньютона k – го порядка Pk(x) с базовым узлом xi.

y(x) » Pk (xi + qh) = y(xi)+ qDyi + + + +

+…+ , .

В этом случае ошибка аппроксимации определяется выражением Rk (x) = f (x) - Pk (x), и, следовательно, для погрешности аппроксимации производной (x), которая обусловлена подменой функции (x) её интерполирующим полиномом Pk (x) имеем:

k (x) = (x) - k(x).

Как известно, погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона определяется выражением:

(41)

где x - некоторая (вообще говоря, неизвестная, и, причём, зависящая от x) точка промежутка интерполяции (a, b).

Переходя в выражении (1) от переменной x к переменной имеем:

(42)

Напомним, что выражение (42) получено при условии, что f(x) Î , т.е. функция y = f(x) имеет на [a, b] все производные включительно. Поскольку мы получаем выражение для k(x), то необходимо дополнительно потребовать, чтобы на [a, b] функция f(x) имела уже все производные до включительно, т.е. чтобы f(x) Î . Поэтому из (42), полагая, что
f(x) Î и учитывая, что , получим:

(43)

Далее подставим значение базового узла xi вместо переменной x в выражение (43). При x = xi переменная , следовательно, сомножитель во втором слагаемом выражения (43) обращается в нуль. Поэтому если предположить, что является величиной ограниченной на [a, b], то можно считать, что при x = xi

.

Далее следует учесть, что , действительно

= .

Поэтому при q = 0 из последнего выражения получаем:

Таким образом, из (43) для значения погрешности производной в точке x = xi получаем выражение:

(44)

Из выражения (44) следует, что для расчёта значения необходимо знать величину , которую трудно оценить, поскольку x - некоторая (вообще говоря, неизвестная, причём зависящая от xi) точка промежутка интерполяции (a, b).

На практике для оценки величины пользуются связью между производными функции f(x) и её конечными разностями Dk+1yi соответствующих порядков, считая, что

Dk+1yi » f (k+1)(xihk+1.

Поскольку в формуле (44) нам необходимо оценить величину , где x некоторое (заранее неизвестное и зависящее от xi) промежуточное значение с интервала интерполяции (a, b), то вместо величины в формулу (44) подставляют значение:

или соответствующую ему величину , рассчитанную для i = 0, …, k. Следовательно, заменяя в формуле (44) величину на выражение:

(45)

окончательно имеем:

(46)

или

(47)

Аналогично может быть получено выражение и для оценки погрешности аппроксимации второй производной .

Воспользуемся формулой (44) чтобы получить выражения для ошибок полученных выше несимметричных аппроксимаций первых производных:

(18)

(20)

Поскольку аппроксимации (18), (20) получены при интерполировании функции f(x) первым интерполяционным полиномом Ньютона второй степени (n = 2), построенным по трём точкам x0, x1, x2 (см. выше п. 2.3), то, полагая в формуле (44) k = 2, i = 0 и i = 2 получаем:

, x0Î(x0, x2). (48)

, x2Î(x0, x2). (49)

С учётом выражений (48), (49) формулы (18), (20) перепишем в окончательном и более общем виде.

, xi-1Î(x i-1, x i+1) (50)

, xi+1Î(x i-1, x i+1) (51)

Заметим, что формулы (50), (51) для несимметричной аппроксимации (xi-1) и (xi+1) второго порядка точности имеют в остаточном члене вдвое больший коэффициент, чем формула симметричной аппроксимации

, x iÎ( x i-1; x i+1). (33)

т.е. (50), (51) имеют коэффициент вместо коэффициента в случае симметричной аппроксимации (33).

 








Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 14408;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.048 сек.