Аппроксимации производных в виде разностных отношений различного порядка точности на основе формулы Тейлора

3.1 Вводные замечания.

При получении простейших аппроксимаций производных в виде разностных отношений различного порядка точности предполагаем, что функция y = f (x) обладает гладкостью, необходимой для получения остаточных членов соответствующего порядка малости. При этом для наглядности будем пользоваться рис. 2.

При построении простейших аппроксимаций производных в виде разностных отношений пользуются следующей терминологией [2, стр. 514 - 515].

- аппроксимация производной f¢ (x_i) в узле x_i сетки, выраженная только через значения функции в узлах x _{i- 1}; x_i или только через значения функции в узлах x_i, x _{i+ 1}, называется несимметричной аппроксимацией.

- аппроксимация производной f¢ (x_i) в узле x_i сетки, выраженная через значения функции в узлах x_i-1, x_i, x _i+1, называется симметричной аппроксимацией.

Рисунок - 2построение простейших аппроксимаций производных

При выводе формул для простейших аппроксимаций производных мы будем использовать разложение функции y = f (x) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Поэтому кратко напомним некоторые моменты, связанные с разложением функции в ряд Тейлора.

1. Пусть P_n(x) – полином степени n: P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂ x² +… + a_n xⁿ

тогда, как известно, его можно представить следующим рядом Тейлора [3, стр. 183]:

где x₀ – некоторая фиксированная точка.

2. Если вместо полинома P_n(x) взять функцию y = f (x), которая в окрестности некоторой точки x₀ (включая саму точку x₀) имеет все производные до n-го порядка включительно, то в окрестности точки x₀ функция f(x) представима рядом Тейлора [3, стр. 185 - 187]:

где с – некоторая точка, лежащая между точками x0 и x: с Î(x0, x).

(25)

В отличие от полинома P_n(x) степени n, выражение (25) для представления функции f (x) рядом Тейлора является точным, только при наличии в этом представлении слагаемого (остаточного члена):

, ~ о( (x - x₀)ⁿ), при x ® x₀.

который при постоянном n и при x ® x₀ является величиной о( (x - x₀)ⁿ), т.е. величиной бесконечно малой порядка выше n-го по сравнению с разностью (x - x₀).

3.2 Аппроксимации первой производной.

Несимметричная аппроксимацияf¢ (x)первого порядка точности.

Пусть дважды дифференцируемая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h. Запишем данную функцию y = f (x) в виде ряда Тейлора в окрестности узла x_i с точностью до слагаемых второго порядка малости:

, где x Î(x; x_i).

Отсюда для f¢ (x_i), получим:

(26)

Выражение (26) является точным и выражает производную f¢ (x_i) функции f(x) в узле x_i через f(x_i) и значение f(x) в окрестности узла x_i.

Первым слагаемым правой части равенства (26) является разностное отношение, аппроксимирующее производную вблизи точки x_i, а второе слагаемое – это остаточный член (ошибка аппроксимации), характеризующий точность такой аппроксимации.

Зафиксируем в формуле (26) x = x_i–1, при этом величина x = x _{i– 1} Î(x _{i– 1}; x_i). В этом случае получаем формулу левой аппроксимации производной f¢ (x_i):

(27)

Аналогично при x = x_i+1, x = x _i+1 Î(x _i; x_i+1) и из формулы (26) получаем формулу правой аппроксимации производной f¢ (x_i):

(28)

При i = 1 и i = 0 из формул (27) и (28) соответственно получаем приближённые равенства:

, x₀ Î(x₀; x₁) (29)

, x₀ Î(x ₀; x₁) (30)

Остаточные члены в формулах (29) и (30) указывают на то, что, пользуясь аппроксимацией (29), (30), мы совершаем ошибку, величина которой ведёт себя как о(h), т.е. эти аппроксимации первой производной имеют первый порядок точности.

Симметричная аппроксимацияf¢ (x)второго порядка точности.

Пусть трижды дифференцируемая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h. Запишем данную функцию y = f (x) в виде ряда Тейлора в окрестности узла x_i с точностью до слагаемых третьего порядка малости:

, где x Î(x; x_i).

При x = x _i+1 и x = x _i–1 из предыдущего соотношения получим:

, x _i+1Î(x_i; x _i+1)

, x _i-1Î(x _i–1; x _i)

Вычитая почленно второе равенство из первого, получим:

откуда Þ

или

(31)

Далее, считаем, что f¢¢¢ (x) является непрерывной на промежутке [x _i-1; x _i+1].
Поэтому, если f¢¢¢ (x _i-1) и f¢¢¢ (x _i+1) значения функции f¢¢¢ (x) в некоторых точках промежутков (x_i-1; x _i) и (x_i; x _i+1) соответственно, то на [x _i-1; x _i+1] функция f¢¢¢ (x) принимает и все промежуточные значения между величинами f¢¢¢ (x _i-1) и f¢¢¢ (x _i+1), а значит, существует такая точка x_iÎ(x_i-1; x _i+1), где функция f¢¢¢ (x) равна:

(32).

Следовательно, используя в формуле (31) равенство (32), приходим к формуле симметричной аппроксимации f¢ (x_i) с остаточным членом второго порядка малости:

, x _iÎ( x _i-1; x _i+1). (33)

Полученная формула (33) симметричной аппроксимации f¢ (x_i) имеет второй порядок точности относительно шага h. При этом «основная» часть формулы (33)

при i = 1 совпадает с формулой (19):

3.3 Аппроксимации второй производной.

a) Симметричная аппроксимация f¢¢ (x) второго порядка точности.

Пусть достаточно гладкая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h. Запишем представление функции y = f (x) рядом Тейлора в окрестности точки x_i с точностью до слагаемых четвёртого порядка малости:

, где x Î(x; x_i).

При x = x _i+1 и x = x _i-1 из предыдущего соотношения получим:

, x_i+1Î(x_i; x_i+1).

, x_i–1Î(x _i–1; x_i).

Складывая почленно два последних равенства, получим:

(34)

Далее, считаем, что f ⁽⁴⁾(x) является непрерывной на промежутке [x_i–1; x_i+1]. Поэтому, если f ⁽⁴⁾(x_i–1) и f ⁽⁴⁾(x_i+1) значения производной f ⁽⁴⁾(x) в некоторых точках смежных промежутков (x_i–1; x_i) и (x_i; x_i+1) соответственно, то на [x_i–1; x_i+1] производная f ⁽⁴⁾(x) принимает и все промежуточные значения между величинами f ⁽⁴⁾(x_i–1) и f ⁽⁴⁾(x_i+1), следовательно, существует такая точка x_iÎ(x_i–1; x_i+1), где производная f ⁽⁴⁾(x_i–1) равна:

, следовательно,

, x_iÎ(x_i–1; x_i+1)

Поэтому соотношение (34) можно переписать в виде:

(35)

Выражая из равенства (35) величину f¢¢ (x_i) приходим к формуле:

, x_iÎ(x_i–1; x_i+1) (36)

Таким образом, формула

определяет симметричную аппроксимацию второго порядка точности для второй производной, погрешность которой определяется остаточным членом:
и является величиной о(h²).

b) Несимметричная аппроксимация f¢¢ (x) первого порядка точности.

Пусть достаточно гладкая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h.

Покажем, что соотношение (36), используемое в качестве несимметричной аппроксимации для второй производной f¢¢ (x), т.е. для f¢¢ (x_i+1) или для f¢¢ (x_i-1), является аппроксимациейпервого порядка точности(а не второго).

Действительно, при всех необходимых оговорках о гладкости функции
y = f (x), в окрестности узла x_i вторую производную, т.е. функцию f¢¢ (x) также можно представить рядом Тейлора:

x Î(x; x_i) (37)

Подставляя в (37) вместо f¢¢ (x_i) правую часть равенства (36) получаем:

(38)

x_iÎ(x_i–1; x_i+1), x Î(x; x_i).

Из (38) при x = x_i-1 и x = x_i+1 получаются следующие частные формулы для несимметричной аппроксимации второй производной:

, x_i-1 Î(x_i-1; x_i) (39)

x_i+1 Î(x_i; x_i+1) (40)

погрешности формул (39), (40) определяется выражениями:

, x_iÎ(x_i–1; x_i+1), x Î(x_i; x_i+1),

, x_iÎ(x_i–1; x_i+1), x Î(x_i-1; x_i),

и имеют порядок малости о(h).

§4. Погрешность формул численного дифференцирования.

При выводе формул численного дифференцирования исходную функцию
y = f(x) на интересующем интервале значений [a, b] заменяют интерполирующим полиномом P_n(x), а затем полагают, что при a £ x £ b f¢ (x) = P_n¢(x). Аналогично поступают и при нахождении производных высших порядков.

Если для используемой интерполирующей функции P_n(x) известно выражение для ошибки (погрешности) интерполяции R(x) = f(x) - P_n(x), то, как отмечалось выше, погрешность аппроксимации производной выражается формулой:

R¢(x) = [ f(x) - P_n(x) ]¢ = f¢ (x) - P_n¢(x)

Считаем, что дифференцируемая функция y = f(x) задана своими значениями
y(x₀), y(x₁), y(x₂), …, y(x_n), на сетке равноотстоящих узлов : x₀, x₁, x₂, …, x_n отрезка [a, b], т.е. x_i = x₀ + ih, где i = 1, 2, …, n, где h > 0 - шаг сетки.

Пусть далее на сетке узлов функцию y = f(x) заменяют первым интерполяционным полиномом Ньютона k – го порядка P_k(x) с базовым узлом x_i.

y(x) » P_k (x_i + qh) = y(x_i)+ qDy_i + + + +

+…+ , .

В этом случае ошибка аппроксимации определяется выражением R_k (x) = f (x) - P_k (x), и, следовательно, для погрешности аппроксимации производной f¢ (x), которая обусловлена подменой функции f¢ (x) её интерполирующим полиномом P_k (x) имеем:

R¢_k (x) = f¢ (x) - P¢_k(x).

Как известно, погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона определяется выражением:

(41)

где x - некоторая (вообще говоря, неизвестная, и, причём, зависящая от x) точка промежутка интерполяции (a, b).

Переходя в выражении (1) от переменной x к переменной имеем:

(42)

Напомним, что выражение (42) получено при условии, что f(x) Î , т.е. функция y = f(x) имеет на [a, b] все производные включительно. Поскольку мы получаем выражение для R¢_k(x), то необходимо дополнительно потребовать, чтобы на [a, b] функция f(x) имела уже все производные до включительно, т.е. чтобы f(x) Î . Поэтому из (42), полагая, что
f(x) Î и учитывая, что , получим:

(43)

Далее подставим значение базового узла x_i вместо переменной x в выражение (43). При x = x_i переменная , следовательно, сомножитель во втором слагаемом выражения (43) обращается в нуль. Поэтому если предположить, что является величиной ограниченной на [a, b], то можно считать, что при x = x_i

.

Далее следует учесть, что , действительно

= .

Поэтому при q = 0 из последнего выражения получаем:

Таким образом, из (43) для значения погрешности производной в точке x = x_i получаем выражение:

(44)

Из выражения (44) следует, что для расчёта значения необходимо знать величину , которую трудно оценить, поскольку x - некоторая (вообще говоря, неизвестная, причём зависящая от x_i) точка промежутка интерполяции (a, b).

На практике для оценки величины пользуются связью между производными функции f(x) и её конечными разностями D^k+1y_i соответствующих порядков, считая, что

D^k+1y_i » f ^(k+1)(x_i)×h^k+1.

Поскольку в формуле (44) нам необходимо оценить величину , где x некоторое (заранее неизвестное и зависящее от x_i) промежуточное значение с интервала интерполяции (a, b), то вместо величины в формулу (44) подставляют значение:

или соответствующую ему величину , рассчитанную для i = 0, …, k. Следовательно, заменяя в формуле (44) величину на выражение:

(45)

окончательно имеем:

(46)

или

(47)

Аналогично может быть получено выражение и для оценки погрешности аппроксимации второй производной .

Воспользуемся формулой (44) чтобы получить выражения для ошибок полученных выше несимметричных аппроксимаций первых производных:

(18)

(20)

Поскольку аппроксимации (18), (20) получены при интерполировании функции f(x) первым интерполяционным полиномом Ньютона второй степени (n = 2), построенным по трём точкам x₀, x₁, x₂ (см. выше п. 2.3), то, полагая в формуле (44) k = 2, i = 0 и i = 2 получаем:

, x₀Î(x₀, x₂). (48)

, x₂Î(x₀, x₂). (49)

С учётом выражений (48), (49) формулы (18), (20) перепишем в окончательном и более общем виде.

, x_i-1Î(x _i-1, x _i+1) (50)

, x_i+1Î(x _i-1, x _i+1) (51)

Заметим, что формулы (50), (51) для несимметричной аппроксимации f¢ (x_i-1) и f¢ (x_i+1) второго порядка точности имеют в остаточном члене вдвое больший коэффициент, чем формула симметричной аппроксимации

, x _iÎ( x _i-1; x _i+1). (33)

т.е. (50), (51) имеют коэффициент вместо коэффициента в случае симметричной аппроксимации (33).