Многих переменных

Пусть задано множество точек координатной плоскости Если каждой упорядоченной паре действительных чисел ставится в соответствие единственное действительное число z, то говорят, что на множестве D задана функция двух переменных со значениями в R и пишут:

или

где

Множество D называется областью определения функции f. Множество состоящее из всех чисел z, равных где называется множеством значений функции.

Множество называется открытым, если каждая точка множества принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью этой точки. Множество называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Множество, обладающее свойствами открытости и связности, называется областью.

Точка M называется граничной точкой области D, если в любой ее окрестности содержатся точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие D.

Совокупность всех граничных точек области называется границей этой области.

Замкнутой областью называется объединение области и ее границы.

Область называется ограниченной, если все ее точки содержатся в некотором круге конечного радиуса с центром в начале системы координат.

Область называется односвязной, если для любой замкнутой кривой, принадлежащей этой области, ограниченная ею часть плоскости целиком принадлежит области D. В противном случае – область многосвязная. Многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из n замкнутых кривых.

Графиком функции определенной на области D, называется множество точек пространства R³, где и

Множество точек для которых (т. е. функция имеет постоянное значение С), называется линией уровня функции

С помощью линий уровня изучают вид графика функции двух переменных.

Пусть D – множество точек пространства R³. Если каждой точке поставлено в соответствие единственное число то говорят, что на множестве D задана функция трех переменных и пишут:

или

где

Графиком функции определенной области D называется множество точек пространства R⁴, где

Поверхностью уровня функции трех переменных называется множество точек таких, что

Понятие функции нескольких переменных обобщается на любое

С помощью поверхностей уровня изучают вид графика функции трех переменных.

Пусть G – множество точек пространства Rⁿ, Если каждой точке поставлено в соответствие единственное число то говорят, что на множестве G определена функция n переменных и пишут:

График функции переменных находится в пространстве Его невозможно изобразить геометрически для

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела и непрерывности. Приведем эти понятия для функции двух переменных.

Пусть некоторая точка области Множество точек для которых выполняется неравенство

называется d-окрестностью точки М₀.

Число А называется пределом функции в точке М₀ (при ), если такое, что для любой точки удовлетворяющей условию выполняется неравенство

Обозначают:

или

Функция называется непрерывной в точке если

или

Функция f называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Аналогичным образом определяются понятия предела и непрерывности в точке для функции n переменных,

Пример 1.Найти область определения функции

Решение. Заданная функция определена, если т. е. Областью определения функции является часть плоскости, лежащая вне эллипса (рис. 18.1).

Рис. 18.1

Пример 2. Найти область определения функции

Решение.Функция u определена при условии т. е. Областью определения является часть плоскости, заключенная между двумя прямыми и вместе с точками этих прямых (рис. 18.2).

Рис. 18.2

Пример 3.Найти область определения функции

Решение.Данная функция трех переменных определена при условии т. е.

Областью определения функции u является часть пространства, находящаяся вне однополостного гиперболоида (рис. 18.3).

Рис. 18.3

Пример 4. Найти линии уровня функции

Решение.Уравнение семейства линий уровня имеет вид:

или

Рассмотрим те значения C, которые приводят к различным ответам.

Если то линии уровня не существует. Если C = –1, то линия уровня вырождается в точку (–1; 0). Если C > –1, то в качестве линий уровня получим концентрические окружности с центром в точке (–1; 0).

Пример 5. Найти поверхности уровня функции

Решение.Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид: Если C = 0, то получаем: или Этим уравнением задается конус. Если C > 0, то – семейство однополостных гиперболоидов. Если C < 0, то – семейство двуполостных гиперболоидов.

Пример 6. Вычислить предел функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Так как и то числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к нулю, т. е. является бесконечно малой величиной. Следовательно, заданная дробь – бесконечно большая величина и

2) Преобразуем выражение

Теперь, используя первый замечательный предел и свойства пределов при и получим:

3) Представим функцию в виде Так как при и имеем то (второй замечательный предел). Показатель при стремится к 2. Поэтому получаем

Пример 7. Найти точки разрыва функции

Решение.Данная функция не определена в тех точках, где знаменатель дроби обращается в нуль: т. е. функция не определена для точек прямых и В остальных точках плоскости функция определена. В любой точке M на прямых или функция не является непрерывной, так как не существует. Таким образом, любая точка прямых и есть точка разрыва заданной функции. В любой точке M₁, не лежащей на прямых или заданная функция непрерывна.