Правило Лопиталя. Формула Тейлора
В случае неопределенностей вида и при вычислении пределов часто бывает полезным правило Лопиталя, которое задается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:
1) определены и дифференцируемы на интервале (a; b), за исключением, быть может, точки причем и
2) (либо );
3) существует предел тогда существует предел отношений функций причем
(17.19)
Правило Лопиталя можно использовать последовательно несколько раз.
Аналогичное правило верно в случае
Если при вычислении пределов возникает неопределенность иного вида, то вначале пределы необходимо свести к неопределенности вида или а затем использовать правило Лопиталя.
В частности, выражения, которые приводят к неопределенностям вида тождественно преобразуют к такому выражению, которое приводят к неопределенности вида или
Неопределенности вида возникают при рассмотрении функции типа С помощью тождества
(17.20)
они сводятся к неопределенности вида а затем – к или
Если функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки производные до ( )-го порядка включительно, то при верна формула Тейлора:
(17.21)
где – остаточный член формулы Тейлора.
Существует несколько форм записи остаточного члена. В частности, в форме Лагранжа:
Если в формуле Тейлора получим частный вид формулы Тейлора – формулу Маклорена:
где
Верны следующие формулы Маклорена:
(17.22)
где
где
(17.23)
где
(17.24)
где
где
Формулы Маклорена могут быть использованы в приближенных вычислениях. При этом абсолютная погрешность приближения в случае чередования знаков в формуле Маклорена не превосходит абсолютной величины первого отбрасываемого слагаемого.
Пример 1. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя:
1) 2) 3)
4) 5)
Решение.1) Непосредственное вычисление предела дает неопределенность вида Поскольку условия теоремы 1 выполняются, используем правило Лопиталя. По формуле (17.19) имеем:
2) Непосредственное вычисление предела дает неопределенность вида поэтому используем правило Лопиталя:
3) Имеем неопределенность вида Поэтому, чтобы воспользоваться правилом Лопиталя, преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
4) Имеем неопределенность вида Для того чтобы использовать правило Лопиталя, преобразуем вначале выражение с помощью формул тригонометрии:
5) Так как приходим к неопределенности вида то вначале преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
Получили неопределенность вида Преобразовав выражение, используем правило Лопиталя:
Используем далее эквивалентность бесконечно малых:
Пример 2. Разложить многочлен по степени х + 2.
Решение.Используем формулу (17.21). В данном случае Тогда
Найдем производные функции:
Все производные порядка выше пятого равны нулю. Вычислив значение полученных производных в точке х0 = –2, получаем:
Подставив найденные значения в формулу (17.21), получим:
Пример 3. Вычислить предел с помощью формул Маклорена:
1) 2)
Решение. 1) Используем формулу Маклорена (17.22). Тогда
Выражение в правой части равенства эквивалентно величине при так как остальные слагаемые имеют более высокий порядок малости («быстрее» стремятся к 0), т. е.
По формуле (17.24) получаем:
если
Тогда
Заметим, что более рациональное решение этого примера возможно с помощью таблицы эквивалентных бесконечно малых, так как использование формул Маклорена выступает здесь как способ доказательства эквивалентностей.
2) Преобразуя выражение под знаком предела и используя формулу (17.23), получим:
Пример 4. Используя формулу Маклорена, вычислить приближенное значение с точностью 0,001.
Решение. Используем формулу (17.24):
Поскольку знаки чередуются и то достаточно взять три слагаемых.
Получаем
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 4242;