Свойства дифференциала

Пусть – дифференцируемые функции на некотором множестве Тогда:

6) где f(u) – сложная функция, дифференцируемая по переменной (свойство инвариантности дифференциала), т. е.

При достаточно малом значении приращение функции с большой степенью точности можно заменить дифференциалом функции:

или

(17.11)

Формулу (17.11) используют в приближенных вычислениях.

С геометрической точки зрения дифференциал функции dy равен приращению ординаты касательной к кривой в точке когда аргумент получает приращение

Пример 1. Вычислить при и значение дифференциала функции

Решение. Дифференциал функции вычислим по формуле (17.10). Найдем

Найдем

Подставляя найденные значения в формулу (17.10), получим,

Пример 2. Вычислить дифференциал функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Найдем

Подставляя полученное выражение в формулу (17.10), получим:

2) Функция задана параметрически. Выразим из первого уравнения системы переменную t через x:

и подставим во второе уравнение:

которое продифференцируем как сложную функцию:

Производную этой функции, заданной параметрически, можно было вычислять также по формуле (17.6).

Используя формулу (17.10) получим:

3) Функция задана в неявном виде уравнением

Дифференцируем обе части уравнения, считая, что

Выразим

По формуле (17.10), получим:

Пример 3. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение выражения:

1) 2) 3)

Решение. 1) Воспользуемся формулой (17.11) для функции при Считаем, что

Вычислим

Найдем

Тогда:

Таким образом,

2) Будем находить приближенное значение функции в точке по формуле (17.11). Обозначим откуда

Найдем значение

Вычислим производную функции

откуда

Подставив найденные значения в формулу (17.11), получим

Таким образом, получим ответ

3) Необходимо найти приближенное значение функции в точке

Представим откуда

Тогда

Поскольку то

Тогда по формуле (17.11) получим:

Итак,

Пример 4.Куб со стороной а = 10 увеличился на 0,05 своего объема. Вычислить приближенно приращение ребра куба.

Решение. Объем куба со стороной a вычисляется по формуле Поэтому первоначальный объем куба равен По условию приращение объема куба равно 0,05 всего объема, т. е.