Первого порядка. Функция называется однородной степени , если для нее выполняется равенство

Функция называется однородной степени , если для нее выполняется равенство

Однородными функция будут:

– вторая степень однородности

– первая степень однородности

– нулевая степень однородности

Неоднородные функции: , , .

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение вида

где и – однородные функции одинаковой степени однородности.

Дифференциальное уравнение может быть представлено в виде

Для решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка применяют подстановку

где – новая искомая функция, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

После того как новое уравнение будет проинтегрировано, следует заменить на .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Убедимся, что это уравнение однородное. Заменить на , а на , видим, что уравнение не изменилось это и доказывает, что оно однородное.

Сделаем подстановку:

, откуда ,

и уравнение перепишется так:

Теперь мы получили уравнение с разделяющимися переменными, которое после разделения переменных запишется следующим образом:

Интегрируя, получаем:

, или .

Заменяя на , получим

;

; .

7.3. Линейные дифференциальные уравнения

первого порядка

Дифференциальные уравнения вида

называются линейными потому, что искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени.

Функции и предполагаются непрерывными в промежутке , в котором ищется решение уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка при помощи подстановки сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде: .

Разделяя на , получим: .

Полагаем , тогда и данное уравнение примет вид:

или

Решаем уравнение

находим его простейшее решение

откуда

; .

Подставляя в уравнение , получим уравнение

, откуда ,

, .

Значит, искомое общее решение можно записать в виде:

Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 895;