Знакоположительных рядов

Признак Даламбера.

Если для положительного ряда существует , то

§ при ряд сходится,

§ при ряд расходится,

§ при о сходимости ряда сказать ничего нельзя, т.е. надо применять другой признак.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Находим , .

– ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Ряд с положительными членами сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

,

где – непрерывная, положительная, монотонная убывающая производящая функция.

Пример. Исследовать на сходимость гарнмонический ряд .

Решение. Вычислим

.

Гармонический ряд расходится.

Пример.Исследовать на сходимость ряд

Решение. Члены ряда можно рассматривать как значения функции при Члены ряда убывают: Вычислим

.

Несобственный интеграл сходится, значит сходится и данный ряд.

Радикальный признак Коши.

Если для положительного ряда существует , то

§ при ряд сходится,

§ при ряд расходится,

§ при о сходимости ряда сказать ничего нельзя.

(Этот признак применяется лишь тогда, когда извлекается).

Пример. Исследовать на сходимость

Решение. Преобразуем выражение под знаком суммы.

Применяя радикальный признак Коши, имеем:

Таким образом, исходный ряд сходится.

Первый признак сравнения.

Сравним ряд с положительными членами с другим знакоположительным рядом

§ если ряд сходится и начиная с некоторого члена ряда выполняется неравенство , то ряд также сходится;

§ если ряд расходится и начиная с некоторого члена ряда выполняется неравенство , то и ряд также расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом

Т.к. каждый член исходного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда, а гармонический ряд является расходящимся (интегральный признак), то данный ряд тоже расходится.

Замечание. Обобщенный гармонический ряд при сходится, при расходится.

Второй признак сравнения.

Даны два положительных ряда и . Если существует конечный предел отношения членов ряда при , отличный от нуля, то оба ряда сходятся, либо расходятся одновременно, т.е. и .

Пример. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Сравним этот ряд со сходящимся рядом (он сходится по интегральному признаку). Проверим, существует конечный, отличный от нуля предел

.

Таким образом, ряд является сходящимся.