Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия DX имеет размерность квадрата случайной величины X, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность случайной величины, используют еще одну числовую характеристику - среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины X называется квадратный корень из ее дисперсии, обозначают через (или σХ, σ[Х], σ). Таким образом, по определению

.

(5.18)

Из свойств дисперсии вытекают соответствующие свойства среднего квадратического отклонения:

1. ,

2. ,

3. .

Для изучения свойств случайных явлений, независящих от выбора масштаба измерения и положения центра группирования, исходную случайную величину X приводят к некоторому стандартному виду: ее центрируют, т.е. записывают разность (X–MX) (геометрически означает, что начало координат переносится в точку с абсциссой, равной математическому ожиданию), затем делят на среднее квадратическое отклонение .

Случайную величину называют стандартной случайной величиной. Ее математическое ожидание равно 0, а дисперсия равна 1. Действительно,

,

.

То есть Z – центрированная случайная величина, если MZ = 0,

Z – нормированная случайная величина, если DZ = 1.

Пример 5.4. Найти МХ, DX и дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения:

Решение:

Используя формулы (5.9), (5.13) и (5.18), находим:

,

,

.