Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака с известным средним квадратическим отклонением находят по формуле

t – параметр, величину которого находят по таблицам Лапласа (см. приложение 3) из соотношения =2Φ(t).

Приведенная формула позволяет решать следующие задачи:

1. По заданным надежности и объему выборки n находить точность и доверительный интервал.

2. По заданным надежности и точности δ находить объем выборки n.

3. По заданным точности δ и объеме выборки n находить надежность .

2. При определении доверительного интервала в случае нормального распределения при неизвестном σ признака X в генеральной совокупности применяют случайную величину

. ( n<30)

Эта величина соответствует закону t – распределения Стьюдента.

Дифференциальная функция распределения T обозначается S( ; n) и зависит только от объема выборки n.

Вероятность попадания случайной величины в соответствующий интервал равна

Доверительный интервал для оценки математического ожидания в этом случае находят по формуле

где = t( ; n) – числа, приведенные в специальных таблицах.

Примечание. При большом объеме выборки (n ≥ 30) значения таблицы Стьюдента и t таблицы Лапласа практически равны. Поэтому выбор формулы, по которой определяют доверительный интервал, диктуется исходными данными

Пример. Для определения средней живой массы трехмесячного теленка определенной породы были взвешены 100 животных и результаты сведены в таблицу

Найти:

1. Величины, которые следует принять за среднюю массу и среднее квадратическое отклонение.

2. Стандартную ошибку выборки и коэффициент вариации.

3. Доверительный интервал, который с вероятностью 0,95 заключает среднюю массу.

Решение:

1. В качестве приближенного значения средней массы принимаем выборочную среднюю, а за значение признака – середины интервалов

Вычисляем выборочную исправленную дисперсию

Находим исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение

2. Стандартная ошибка выборки равна

Коэффициент вариации

показывает, что изменчивость признака средняя.

3. Поскольку n = 100 > 30 и у нас случай нормального распределения, то доверительный интервал находим по формуле

Из условия 2Φ(t) = 0,95 определяем Φ(t) = 0,475,

а по таблице приложений находим t = 1,96.

Поэтому

или 31,32 < < 32,68 кг – доверительный интервал для заданной вероятности.

Объём выборки.Для определения n необходимо задать надежность (доверительную вероятность) оценки и точность (предельную ошибку выборки) .

Объём выборки находят из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через дисперсию признака. Например, для повторной выборки при оценке генеральной средней с надёжностью эта формула имеет вид:

, откуда , где

Необходимый объём выборки для получения достоверных результатов можно вычислить по формуле:

Как видно из формул, для определения обёма выборки необходимо знать характеристику генеральной совокупности , которая не известна и для определения которой предполагается провести выборочное наблюдение. В качестве этой характеристики обычно используют выборочное данное , т.е. полагают