Распределение Фишера.

Во многих задачах математической статистики, в особенности в дисперсионном анализе, важную роль играет распределение Фишера

(F-распределение), названное так по фамилии известного английского математика Р.А. Фишера (1925 г.)

Если U и V независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы и , то величина

(*)

распределена по закону Фишера со степенями свободы и . Принимают, что U >V, так что переменная F принимает значения не меньшие 1.

На практике часто применяется случайная величина

), (**)

Распределенная по закону Стьюдента с числом степеней свободы (для большей дисперсии) и (для меньшей дисперсии). Здесь

.

Покажем, что случайная величина (**) представляет собой частный случай случайной величины (*). Перепишем (**) в виде

.

Случайные переменные и распределены по закону со степенями свободы и . Таким образом мы получили выражение (*).

Величина F имеет непрерывную функцию распределения и зависит только от чисел степеней свободы и . Функция распределения величины F при небольшом объеме выборки n приближается к кривой нормального распределения.

Наиболее часто функция F распределения табулирована для 5% (доверительная вероятность 0,95) и 1% (доверительная вероятность 0,99) уровней значимости и чисел степеней свободы для большей дисперсии и для меньшей дисперсии (см. приложение 2). На практике, в зависимости от поставленной задачи, при одном и том же значении доверительной вероятности используют распределение Фишера с односторонней (рис. 20) и двухсторонней (рис. 21) критическими областями. Для односторонней критической области по таблицам определяют критическое значение F_kp, соответствующее выбранному уровню значимости при степенях свободы и , для которого выполняется условие . В случае двухсторонней критической области критическим значением и соответствует вероятности и . На практике при двухсторонней критической области ограничиваются определением величины , для уровня значимости вдвое меньше заданного - .

Рис. 20. Функция распределения Рис. 21. Функция распределения

Фишера с односторонней Фишера с двухсторонней

критической областью. критической областью.

Рассмотрим подробнее построение критических областей распределения Фишера. При использовании случайной величины F в качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай: Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят одностороннюю, а именно правостороннюю, критическую область (рис. 20) исходя из требования, чтобы вероятность попадания величины F в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости р. Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством . Значение находят по заданному уровню значимости при степенях свободы и .

Второй случай: Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят двухстороннюю критическую область (рис.21) исходя из требования, чтобы вероятность попадания величины F в каждый из двух интервалов критической области, в предположении справедливости конкурирующей гипотезы, была равна . Тогда критическая область определяется: , ; область принятия нулевой гипотезы: .