Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения: 1, 2, 3, 4, ..., а вероятности этих значений:

,

(5.27)

где

Геометрическое распределение имеет случайная величина X, равная числу опытов в схеме Бернулли, проведенной до первого успеха вероятность успеха р в единичном опыте.

Примерами реальных случайных величин, распределенных по геометрическому закону, являются: число выстрелов до первого попадания, число испытаний прибора до первого отказа, число бросаний монеты до первого выпадения цифры и т.д.

Ряд распределения случайной величины X, имеющей геометрическое распределение, имеет вид

X = m				…
	р			…

Контроль: .

Вероятности образуют геометрическую прогрессию р, , ,…. По этой причине распределение (5.27) называют геометрическим.

Найдем математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения. Производящей функцией для случайной величины Х является функция

,

т.е. . Для нее , .

Следовательно,

, ,

(5.28)

т.е.

, и значит .

Пример 5.8.Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для данного стрелка равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа выстрелов по цели до первого попадания.

Решение:

Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром . По формулам (5.28):

,

,

.