Нормальный закон распределения

Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а и , если ее плотность распределения имеет вид

.

(5.38)

Тот факт, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ сокращенно записывается так: X ~ N(а, σ).

Функция распределения непрерывной случайной величины X ~ N(а, σ) имеет вид

.

(5.39)

Если а = 0 и σ = 1, то нормальное распределение с такими параметрами называется стандартным. Плотность стандартной случайной величины имеет вид

.

(5.40)

Функция распределения случайной величины X ~ N(0, 1) имеет вид

.

(5.41)

и называется функцией Лапласа. Она связана с нормированной функцией Лапласа равенством

.

(5.42)

Математическое ожидание случайной величины X ~ N(а, σ) имеет вид: , ее дисперсия , где σ – среднее квадратичное отклонение.

Для случайной величины X ~ N(а, σ):

, , .

Исследуем дифференциальную функцию (5.38) нормального закона:

1. при любом ; график функции расположен выше оси Ох.

2. Ось Ох служит асимптотой графика функции , так как .

3. Функция имеет один максимум при x=а, равный .

4. График функции симметричен относительно прямой x=а, так как аналитическое выражение содержит разность x - а в квадрате.

5. Можно убедиться, что точки и , являются точками перегиба графика функции .

Пользуясь результатами исследования, строим график плотности распределения вероятности нормального закона - кривую распределения, называемую нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис. 5.13).

Рис. 5.13.

Вероятность попадания случайной величины X ~ N(а, σ) на заданный участок равна

.

(5.43)

Через функцию Лапласа выражается и функция распределения нормально распределенной случайной величины Х:

.

(5.44)

Если функция Лапласа есть

,

то с учетом (5.42) и (5.44) получим

.

(5.45)

Равенство (5.43) можно переписать в виде:

.

(5.46)

На практике часто приходится вычислять вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеяния а. Пусть таким интервалом будет длины . Тогда

т.е.

.

(5.47)

В равенстве (5.47) полагая , получим . По таблице значений для находим: . Следовательно, , т.е. отклонение случайной величины Х от своего математического ожидания меньше, чем - почти достоверное событие.

Практически достоверно, что случайная величина X ~ N(а, σ) принимает свои значения в промежутке . Это утверждение называется «правилом трех сигм».

Пример 5.12. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону распределения с параметром мм. Производится 3 независимых измерения детали. Найти вероятность того, что ошибка хотя бы одного измерения не превосходит по модулю 2 мм.

Решение:

По формуле (5.47) находим:

Вероятность того, что эта ошибка превышает 2 мм в одном измерении, равна

.

По теореме умножения вероятность того, что во всех трех опытах ошибка измерения превышает 2 мм, равна . Следовательно, искомая вероятность равна .