Биноминальный закон распределения

Среди законов распределения дискретной случайной величины наиболее распространенным является биномиальное распределение

Дискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения , с вероятностями:

,

(5.23)

где , , .

Случайная величина X, распределенная по биномиальному закону, является числом успехов с вероятностью р в схеме Бернулли проведения n независимых опытов.

Если требуется вычислить вероятность «не менее m успехов в n независимых опытах», т.е. , то имеем:

.

Вероятность бывает удобно находить через вероятность противоположного события:

.

Ряд распределения дискретной случайной величины Х, имеющий биномиальное распределение, имеет вид:

X = m				…	m	…	n
				…		…

Контроль : .

Функция распределения случайной величины Х, распределенная по биномиальному закону имеет вид:

Найдем числовые характеристики этого распределения. Производящей функцией биномиального распределения является:

,

т.е. . Тогда

,

.

Следовательно,

т.к. ,

.

Итак,

.

(5.24)

Пример 5.5.Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны . Найти МХ и DX, где Х – число попаданий в цель.

Решение:

Случайная величина Х имеет биноминальное распределение. Здесь , , . По формулам (5.24) находим МХ и DX:

,

.

Пример 5.6. Составьте таблицу распределения вероятностей числа попаданий в мишень при трех независимых выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2.

Решение.

Случайная величина X - число попаданий в мишень. Так как производятся три независимых выстрела, то случайная величина может принимать следующие значения:

х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3.

Случайная величина X имеет биномиальное распределение вероятностей, поскольку испытания, рассматриваемые в задаче, удовлетворяют схеме Бернулли. По формуле

,

где m=0,1,2,3, находим:

Р(X=0)=0,512, Р(X=1)=0,384,

Р(X=2)=0,096, Р(X=3)= 0,008.

Таким образом, получаем следующую таблицу распределения вероятностей случайней величины X:

	0	1	2	3
	0,512	0,384	0,096	0,008

Проверка: .

Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения: (счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона

,

(5.25)

где ; - параметр.

Распределение Пуассона является предельным для биномиального, когда и так, что - постоянно.

Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за время t; число опечаток в большом тексте; число бракованных деталей в большой партии; число -частиц, испускаемых радиоактивным источником, и т.д. При этом считается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, характеризующейся параметром .

Случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, имеет следующий ряд распределения

X = m				…	m	…
				…		…

Контроль: .

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, распределенной по закону Пуассона. Производящей функцией распределения Пуассона будет

,

т.е. . Тогда

,

.

Из этого имеем,

,

.

Итак,

,

(5.26)

т.е. параметр a пуассоновского распределения равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии случайной величины X, имеющей это распределение. В этом состоит отличительная особенность изучаемого распределения, которая используется на практике (на основании опытных данных находят оценки для математического ожидания и дисперсии; если они близки между собой, то есть основание считать, что случайная величина распределена по закону Пуассона).

Пример 5.7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелах составит не менее 5 и не более 10?

Решение:

Вероятность очень мала, а число выстрелов достаточно велико. Поэтому искомую вероятность будем находить, используя формулу Пуассона. Случайная величина Х – число попаданий. Требуется найти .

По теореме сложения вероятностей

.

Имеем:

,

,

.