Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (или экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид

(5.35)

где - параметр распределения.

График плотности приведен на рис. 5.11.

Рис. 5.11.

Функция распределения показательного закона имеет вид:

(5.36)

График представлен на рис. 5.12.

Рис. 5.12.

Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения имеют вид:

, , .

(5.37)

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по показательному закону, в интервал равна:

.

Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, в физике, в теории надежности, а также для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.д.

Рассмотрим, непрерывную случайную величину Т - длительность безотказной работы прибора. Функция распределения случайной величины Т, т.е. , определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит, вероятность безотказной работы за время t равна

.

Функция R(t) называется функцией надежности.

Случайная величина Т часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения имеет вид

.

В этом случае функция надежности имеет вид

,

т.е.

R(t) e^-λt,

где λ - интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени.

Показательный закон - единственный из законов распределения, который обладает свойством «отсутствия последствия» (т.е. если промежуток времени Т уже длился некоторое время τ, то показательный закон распределения остается таким же и для оставшейся части промежутка).

Пример 5.11. Случайная величина Т – время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность работы того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

Решение:

, значит по формуле (5.37),

.

Искомая вероятность

.