Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили

Модой дискретной случайной величины X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обозначается через .

Для непрерывной случайной величины - точка максимума (локального) плотности .

Если мода единственна, то распределение случайной величины называется унимодальным, в противном случае - полимодалъным (рис. 5.4).

Рис. 5.4.

Медианой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение , для которого

(5.19)

т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина X меньше или больше (рис. 5.4).

С помощью функции распределения равенство (5.19) можно записать в виде

Отсюда

Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий - моментов случайных величин.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой величины, обозначается через .

Таким образом, по определению

Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой:

а для непрерывной случайной величины - интегралом:

В частности, , т.е. начальный момент 1-го порядка есть математическое ожидание.

Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины , обозначается через .

Таким образом, по определению

В частности, , т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; (свойство 4 математического ожидания)

Для дискретной случайной величины:

а для непрерывной случайной величины:

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты:

действительно:

и т.д.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Коэффициентом асимметрии(«скошенности») А случайной величины X называется величина

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от (рис. 5.5а).

Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от (рис. 5.5б).

а) б)

Рис. 5.5

Коэффициентом эксцесса («островершинности») Е случайной величины X называется величина

Величина Е характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нормальным: если Е > 0 - более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют Е < 0 (рис. 5.6).

Рис. 5.6.

Кроме рассмотренных числовых характеристик случайной величины, в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилью уровня р случайной величины X называется решение уравнения

где р - некоторое число, 0 < р < 1.

Квантили , и имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана ( ), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0,25 (рис. 5.7).

Рис. 5.7.

Производящая функция

Нахождение важнейших числовых характеристик дискретных случайных величин с целыми неотрицательными значениями удобно производить с помощью производящих функций.

Пусть дискретная случайная величина X принимает значения 0,1, 2, ..., k,… с вероятностями