Дискретний випадковий вектор

Якщо обидві координати вектора є дискретними випадковими величинами, то вектор називають дискретним випадковим вектором. Дискретний ВВ-р задається набором значень (x_k; y_j) та ймовірностями p_kj=P{X=x_k,Y=y_j}, з якими ці значення приймаються. Ясно, що сума всіх ймовірностей p_kj дорівнює одиниці.

Дискретний ВВ-р, як правило, задають таблицею розподілу.

У таблиці розподілу дискретного ВВ-ра міститься вся інформація про нього. Зокрема, ця таблиця дозволяє знайти закони розподілу координат вектора.

Дійсно,оскільки подія {X=x_k} складається з суми попарно несумісних подій {X=x_k,Y=y₁}, {X=x_k,Y=y₂},..., {X=x_k,Y=y_m}, то щоб одержати ймовірність p_k =Р{X=x_k} потрібно просумувати ймовірності p_kj, які стоять у k-му рядку таблиці розподілу:

Аналогічно, щоб одержати ймовірність P{Y=y_j} потрібно просумувати ймовірності p_kj , які стоять у j-ому стовпцю таблиці розподілу:

=P{Y=yj}=p1j +p2j +…+pnj .

( )

Приклад 1. Знайти: а) розподіл координат дискретного ВВ-ра , заданого таблицею розподілу; б) знайти ймовірності: P{X=1,Y<0}, P{X<0.5,Y>–1.5}, P{X+Y>0}.

Розв’язання. а) На підставі формул (2) ,( ) одержуємо розподіли координат X та Y:

б)P{X=1,Y<0}=0.35+0.2=0.55, P{X<0.5,Y>-1.5}=0,05+0.25=0.3,

P{X+Y>0}=0.25.

Виникає запитання: коли можливо за розподілом координат зна­йти розподіл вектора?

Приклад 2.Знайти розподіл координат дискретного ВВ-ра ,який

заданий таблицею розподілу ймовірностей

Розв’язання.На підставі формул (2), ( ) одержуємо розподіли координат X та Y

Отже, розподіли координат X та Y співпадають з розподілами координат з

приклада 1, хоча розподіли векторів відрізняються.

Введемо подібно до умовної ймовірності події поняття умовного розподілу координати X дискретного ВВ-ра за умови , що його координата Y=

(3)

Зрозуміло, що .

Аналогічно визначається умовний розподіл випадкової величини Y за умови , що випадкова величина .

Означення 1.Дискретні випадкові величини X та Y називаються незалежнимитоді, коли при всіх значеннях k та j є справедливими співвідношення

. (4)

Випадкові величини X та Y незалежні тоді і тільки тоді, коли при всіх значеннях k та j виконується рівність

. (5)

Іншими словами, двовимірний розподіл дискретного вектора відновлюється по одновимірних розподілах його координат лише у тому випадку, коли координати вектора є незалежними випадковими величинами.

Приклад 3. В умовах прикладу 1 знайти умовні розподіли та з’ясувати питання про те, чи є випадкові величини X та Y залежними.

Розв’язання. На підставі формули (3) знайдемо умовний розподіл випадкової величини X при Y= –2:

.

Аналогічно одержуємо умовний розподіл випадкової величини Y за умови, що випадкова величина X =0:

Випадкові величини X та Y є залежними, наприклад, тому що Випадкові величини X та У є залежними, наприклад, тому що .