Основні неперервні закони розподілу.

Розглянемо деякі найбільш важливі неперервні розподіли.

1)Рівномірний (прямокутний) розподіл. Випадкова величина X рівномірно розподілена у проміжку [c ; d], якщо її щільність ймовірності має вигляд (рис.2.8, а):

(1)

Цей розподіл є неперервним аналогом класичного означення ймовірності (відповідає припущенню про рівноможливій вибір точки у проміжку [c;d]). А саме, нехай [с₁;d₁] [c;d] . Тоді Р{X [c₁;d₁]} =

(2)

Графік функції розподілу приведено на рис.2.8, б.

Математичне сподівання ВВ Х за теоремою 1 підрозд. 2.1.4.2 (3) а дисперсія за формулою (1)підрозд.2.1.4.4

, Отже, (4). Якщо шкала приладу має ціну поділці і відлік робиться з точністю до цілої поділці шкали, то похибка вимірювання є неперервною випадковою величиною, яка рівномірно розподілена у проміжку

[– 0.5∆ ; 0.5∆].

Помилка, яка допускається при округленні числа з точністю до 10^-m, рівномірно розподілена у проміжку [– 0.5·10^-m ; 0.5·10^-m].

Приклад 1.Потяги метройдуть з інтервалом 4.5хв. Пасажир виходить на платформу у випадковий момент часу. Знайти; а) МХ та ВВ часу очікування поїзда; б)ймовірність того, що пасажир буде очікувати поїзд не більше 3-х хвилин; в) не більше 4-х.

Розв’язання . Оскільки ВВ Х час очікування потяга має щільність розподілу , з функцією розподілу , то за формулою

P{XÎ[а; b)} = F_X (b) – F_X (a) одержимо, що P{XÎ[0; 3)} = F_X (3) – F_X (0)= , а

P{XÎ[0; 4)} = F_X (4) – F_X (0)= , За формулами (3), (4) МХ=2.25. ,

2) Показниковий розподіл. Випадкова величина X має показниковий розподіл з параметром l>0, якщо її щільність розподілу

, (5)

де = – так звана одинична функція Хевісайда.

Відповідна функція розподілу має, на підставі (1) підрозд. 2.1.3, вигляд

(x 0) .

Таким чином, P{X h}=1–P{0 X< h}=1–F_X(h) =1–(1–e^-λh )= e^-λh .

Графіки щільності ймовірності та функції розподілу приведені на рис.2.9, а і 2.9, б.

Запис X~Е( ) означає, що ВВ Х розподілена за показниковим законом з параметром .

В теорії масового обслуговування (див. підпункт 3.4.1.1)припускається, що час обслуговування Т_обсл підкоряється показниковому закону .

Приклад 2.Нехай кількість відмов приладу на проміжку часу [0 ; t) розподілена за законом Пуассона з параметром lt

( =0,1,2,…) ,

Рис. 2.10

а ВВ T – тривалість проміжку часу між двома послідовними відмовами приладу (рис.2.10). Знайти закон розподілу ВВ T .

Розв’язання. Оскільки подія T ³ t означає, що на проміжку [0 ; t) прилад працює безвідмовно, то P{T ³ t} = p₀(t) =e^–λt. Отже,

F_T (t) =P{T< t} =1– Р{T ≥ t} =1– e^–λt

і, таким чином,

.

Звідси випливає, що тривалість проміжку часу між двома послідовними відмовами приладу розподілена за показниковим законом з параметром l.

Для показникового закону

3)Нормальний розподіл (розподіл Гаусса). Випадкова величина X має нормальний розподіл з параметрами a та s², якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд (рис.2.12, а):

.

(13)

Дослідимо функцію .1. 2. як показникова функція.

3. .4. Екстремум;

У подальшому запис X~N(a;s²) означатиме, що ВВ X має розподіл Гаусса з параметрами a та s². Графік розподілу Гаусса є симетричним відносно прямої x=a. Єдиний максимум досягається при x=a і дорівнює . Оскільки площа під графіком дорівнює 1, то при зменшенні s графік стає більш «високим» та «вузьким».

Первісна від нормальної щільності не виражається явно через елементарні функції. Функція розподілу випадкової величини X~N(a;s²) виражається через функцію Лапласа Ф(x) (формула (5) розділу 1.5). Дійсно,

Графік функції розподілу приведено на рис.2.12, б.

а Рис. 2.12 б

Розподіл Гаусса відіграє фундаментальну роль в застосуваннях теорії ймовірності.

Оскільки ймовірність потрапляння ВВ у проміжок дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях проміжку, то

.

(14)

Якщо проміжок [c; d] довжиною 2ss розташований симетрично відносно точки x=a, то формула (14) набирає особливо простого вигляду

. ( )

Зокрема: 1) ймовірність попадання у проміжок [a-3s; a+3s] дорівнює 2Ф(3) = 0.9973. Таким чином, можна стверджувати, що подія {XÏ[a-3s; a+3s]} є практично неможливою (при одному випробуванні отримати значення, яке відхиляється від а більше, ніж на 3s неможливо) . У цьому полягає знамените правило «трьох сигм»;

2) Отже, події

σ}, {|X–a|<0.6745σ} є рівноймовірними. Величина Е=0.6745σ називається серединним або імовірнимвідхиленням.

Приклад 6. Відхилення розміру деталі від стандартного розподілено за законом N(0;16 мм²). Деталь вважається придатною, якщо відхилення від стандарту не перевищує 6 мм. 1) Який відсоток випуску непридатних деталей? 2)Яким має бути σ , щоб при відхиленні від стандарту 3 мм ймовірність придатності деталі була не менш , ніж 0.95 ?

Розв’язання. Нехай ВВ X – відхилення розміру деталі від номінального. 1) Знайдемо ймовірність того, що деталь буде забраковано

Таким чином, брак складає майже 13.5%.

2) За таблицею функції Лапласа маємо мм.

Випадкові вектори