Кореляційний момент випадкових величин
Означення 1. Кореляційним моментом(кореляцією, коваріацією) K(X,Y) випадкових величин Х та У називається число
K(X,У)= М[(X-MX)(Y-MY)] (9)
Ця величина має розмірність, що дорівнює добутку розмірностей випадкових величин X та У. Скориставшись властивостями математичного сподівання, можна привести формулу (9) до вигляду
К(Х,У) =М(Х У)-МХ МУ. (10)
Випадкові величини називаються корельованимипри і некорельованимипри
. Якщо випадкові величини незалежні, то із (10) виходить, що - із незалежності випадкових величин випливає їх некорельованість. Якщо то випадкові величини є залежними -із корельованості випадкових величин випливає їх залежність. Однак, із не випливає незалежність випадкових величин - із некорельованості випадкових величин не випливає їх незалежність.
Незалежність некорельованість |
Корельованість залежність |
Означення 2. Коефіцієнтом кореляціївипадкових величин Х та У називається число
. (11)
Приклад 3. Знайти кореляційний момент координат випадкового вектора, заданого таблицею:
0.3 | 0.5 | |
0.1 | 0.1 |
Розв'язання. За формулами (6) знаходимо = 2 0.3+2 2 0.5+3 l 0.1+ +3 2 0.1=3.5, MX =2 0.3+2 0.5+3 0.1+3 0.1=2.2,
МУ =1 0.3+1 0.1+2 0.5+3 0.1=1.6. Тоді за формулою (10) одержимо К(Х,У)=3.5-2.2 1.6= -0.02.
Регресія
Якщо ми знаємо розподіл однієї координати дискретного випадкового вектора при умові, що інша координата приймає певне значення: , , то можна ввести поняття умовного математичного сподівання.
Означення 1.Умовним математичним сподіванням випадкової величини Y при умові, що випадкова величина Х прийняла одно з своїх можливих значень називається число, яке знаходиться за формулою
(12)
Аналогічно визначається умовне математичне сподівання .
При зміні х від до взагалі кажучи, змінюється умовне математичне сподівання яке можна розглядати у цьому випадку як функцію х:
. (13)
Ця функція називається регресією У на X (Y відносно X), а її графік - лінією регресіїY на X. Лінія регресії описує зміну середніх значень випадкової величини У при переході від одного значення Х до іншого.
Аналогічно визначається регресія Х на У (Х відносно У) і лінія регресії Х на У: .
Для побудови рівняння регресії за означенням (12)-(13) необхідно знати закон розподілу двовимірного випадкового вектора (таблицю з розділа 1.2). На практиці дослідник звичайно має у своєму розпорядженні лише виборку пар чисел скінченного об’єму та рівняння регресії визначається методом найменших квадратів (МНК). Доведено, що одержана по МНК функція є найкращим наближенням до дійсної лінії регресії .
Випадкові величини X та У називаються лінійно корельованими,якщо лінії регресії є прямими. Рівняння цих прямих такі:
(У на X) (14)
(X на У) (1 )
Якщо лінія регресії У на X (X на У)не є прямою, можна використати першу (другу) із прямих регресії (14)- (1 ) в якості наближення до істинної лінії регресії. У цьому випадку ця пряма називається прямою наближеноїрегресії. У зв'язку з цим відзначимо, що функція (функція ) єнайкращим наближенням до Y (до X)серед усіх лінійних функцій випадкової величини X (випадкової величини У).
Кутові коефіцієнти та прямих регресії (14)- (1 ) називаються відповідно коефіцієнтами регресії У на X та X на У. При цьому
, (15)
Прямі регресії (14)- (1 ) проходять через точку з координатами (MX; MY), При прямі регресії співпадають, а при - паралельні осям координат.
Приклад 4.Задан закон розподілу дискретного випадкового вектора .
1. Знайти а) закони розподілу його координат и ; б) їх математичні сподівання та дисперсії; в) кореляційний момент ; г) коефіціент кореляції .
2. Знайти умовні розподіли та з’ясувати, чи залежні та .
-4 | 0.4 | 0.05 | 0.1 |
-1 | 0.05 | 0.2 | 0.2 |
3. Побудувати функцію регресії . Знайти рівняння лінійної регресії на та порівняти її на графику з функцією регресії
Розв’язання.1. а) На підставі формули (1) одержимо розподіли координат та .
-4 | -1 | |
0.55 | 0.45 |
0.45 | 0.25 | 0.3 |
б) 0 0.45+2 0.25+4 0.3=1.7;
4 0.25+16 0.3=5.8; 5.8-2.89=2.91;
-4 0.55-1 0.45=-2.65; (-4 0.55+(-1 0.45=8.8+0.45=9.25;
9.25-(2.65 =9.25-7.0225=2.2275.
в) =2 (-4) 0.05+4 (-4) 0.1+2 (-1) 0.2+4 (-1) 0.2=-0.4-1.6-0.4-0.8=-3.2. К(Х,У) =М(Х У)-МХ МУ=-3.2-1.7 (-2.65 ) = -3.2+4.505=1.305.
г) = .
2. Знайдемо умовні розподіли ( =1,..., , =1,..., ; =2, =3), умовні закони розподілу та умовні математичні сподівання для =0, =2, =4.
а) =0. Оскільки =-4/ =0} = = , а
=-1/ =0}= = , то умовний закон розподілу =0}:
-4 | -1 | |
8/9 | 1/9 |
,а умовне математичне сподівання =- 4
б) =2. Оскільки =-4/ =2}= = , а =-1/ =2}= = , то умовний закон розподілу :
-4 | -1 | |
1/5 | 4/5 |
,а умовне математичне сподівання
=-4 -1 =- .
в) =4. Оскільки = = , а = = , то умовний закон розподілу : а умовне математичне сподівання
-4 | -1 | |
1/3 | 2/3 |
=-4 -1 =-2.
Оскільки, наприклад, =-4/Х=0}= =-4}=0.55, то випадкові величини Х та У - залежні.
3. Функція регресії, тобто залежність умовного математичного сподівання від задається таблицею:
-11/3 | -8/5 | -2 |
Рівняння прямої регресії У на Х має вигляд + , де = 0.45, aбо у=-2.65+0.45(х-1.7), aбо у=-3.415+0.45х. (*) Пряма регресії проходить через точку (МХ;МУ)=(1.7;-2.65). Другу точку на прямій одержимо, поклавши в рівнянні (*) х=0. Тоді друга точка: (0;-3.415). На рис.4 зображені функція регресії та пряма регресії.
..
Рис.4
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 1350;