Ляпунов бойынша орнықтылықты зерттеудің жалпы әдісі

Орнықтылықты зерттеудiң жалпы әдiсi АРЖ-ның жоспарлау (басқарушы) және қоздыру әсерлерi тудыратын , реттелетiн шаманың өзгеруi үшiн жазылған

(1)

дифференциал теңдеуiн талдаумен тұжырымдалады. , мәндерiн және олардың туындыларын нөлге тең деп алсақ, сипаттама теңдеуi

(2)

болатын бiртектес

(3)

дифференциал теңдеуiн аламыз.

АРЖ-ның орнықты екендiгін (3) теңдеуiн шешу арқылы анықтауға болады. Оның шешiмi өтпелi процестi сипаттайды (4)

Мұндағы — интегралдау тұрақтысы, ол бастапқы шарттан анықталады; — сипаттамалық теңдеудiң түбiрлерi. өтпелi процесс саны түбiрлер санымен анықталатын құраушылар қосындысынан тұрады.

Жүйе орнықты болуы үшiн (4)-нiң шешiмi мына шартты қанағаттандыруы тиiс:

(5)

Бұл өрнек орнықтылық шартының аналитикалық өрнегi болады. Жалпы жағдайда түбiрлерi комплекс болып келедi. Оған қоса олар түйiндес (сопряженный) түбiрлердiң жұбын түзедi.

Орыс ғалымы, академик А. М. Ляпунов 1892 жылы бiрiншi болып орнықтылықтың дәл анықтамасын тұжырымдап, қозғалыстың орнықтылығын зерттеудiң жалпы әдiсiн жасады. А. М. Ляпунов былайша тұжырымдайды: Сызықты АРЖ орнықты болуы үшiн мынадай шарттар қажетті және жеткілiктi: сипаттамалық теңдеудiң барлық нақты түбiрлерiнiң терiс таңбалы, ал комплекс түбiрлерiнiң нақты бөлігi терiс таңбалы болуы тиiс.

Бiрiншi және екiншi реттi жүйелердiң сипаттамалық теңдеулерiнiң барлық коэффициенттерi нөлден үлкен болса, олар орнықты делiнедi. Жоғары реттi жүйе үшiн бұл шарт тек қажеттi ғана, бiрақ жеткiлiксiз. АРЖ-ның орнықтылығын әдетте орнықтылық критерийлерiмен бағалайды. Орнықтылықтың негiзгi Раус — Гурвиц, Михайлов және Найквист критерийлерi секiлдi үш критерийi бар. Оларды жеке - жеке қарастырайық.