Теорема про чотири визначальні властивості функції Гріна.
Теорема. Якщо функція , що задана у прямокутнику
, має чотири наступні властивості, то ця функція є функцією Гріна півнеоднорідної крайової задачі:
1) Функція Гріна та її похідні до порядку
с неперервними у всій області;
2) Похідна функції Гріна -го порядку є розривною на лінії , та її стрибок дорівнює оберненому значенню коефіцієнта при старшій похідній ;
3) Будь-яка похідна за змінною від функції Гріна є неперервною у областях та . У кожному з цих трикутників виконуватиметься рівняння .
4) Функція Гріна має задовольняти граничні умови
.
Доведення.
Розглянемо рис.4, та введемо позначення для областей та -
та відповідно. Зобразимо розв’язок півнеоднорідної задачі (2.41), який має задовольняти функція Гріна, у вигляді
(2.46)
|
. З огляду на це, підрахуємо першу похідну:
.
Спростимо отриманий вираз:
(2.47)
З умови неперервності функції Гріна останній доданок у рівності (2.47) дорівнює нулеві. За аналогічною схемою підрахуємо похідні функції Гріна до порядку
Останні доданки у всіх виразах дорівнювали нулеві за рахунок неперервності функції Гріна та її похідних за властивістю теореми. У випадку похідної -го порядку матимемо
Остання рівність отримана за властивістю 2) теореми.
Підставимо тепер всі підраховані похідні у диференціальне рівняння
За рахунок властивості 3) теореми перші два доданка дорівнюють нулеві. Отже, отримано , тобто є розв’язком диференціального рівняння задачі. Покажемо, що функція задовольняє крайові умови. З цією метою запишемо граничний функціонал у вигляді
. (2.48)
Підрахуємо похідні, що входять до граничних умов
та підставимо ці співвідношення у рівність (2.48):
. (2.49)
Рівність (2.49) отримано за рахунок властивості 4) теореми.
Доведено, що функція, яка задовольняє умовам 1) – 4) є функцією Гріна.
Слідство. Якщо з чотирьох умов теореми виконано тільки три перші умови, то функція буде фундаментальною функцією:
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 745;