Теорема про чотири визначальні властивості функції Гріна.

Теорема. Якщо функція , що задана у прямокутнику

, має чотири наступні властивості, то ця функція є функцією Гріна півнеоднорідної крайової задачі:

1) Функція Гріна та її похідні до порядку

с неперервними у всій області;

2) Похідна функції Гріна -го порядку є розривною на лінії , та її стрибок дорівнює оберненому значенню коефіцієнта при старшій похідній ;

3) Будь-яка похідна за змінною від функції Гріна є неперервною у областях та . У кожному з цих трикутників виконуватиметься рівняння .

4) Функція Гріна має задовольняти граничні умови

.

Доведення.

Розглянемо рис.4, та введемо позначення для областей та -

та відповідно. Зобразимо розв’язок півнеоднорідної задачі (2.41), який має задовольняти функція Гріна, у вигляді

(2.46)

. З огляду на це, підрахуємо першу похідну:

.

Спростимо отриманий вираз:

(2.47)

З умови неперервності функції Гріна останній доданок у рівності (2.47) дорівнює нулеві. За аналогічною схемою підрахуємо похідні функції Гріна до порядку

Останні доданки у всіх виразах дорівнювали нулеві за рахунок неперервності функції Гріна та її похідних за властивістю теореми. У випадку похідної -го порядку матимемо

Остання рівність отримана за властивістю 2) теореми.

Підставимо тепер всі підраховані похідні у диференціальне рівняння

За рахунок властивості 3) теореми перші два доданка дорівнюють нулеві. Отже, отримано , тобто є розв’язком диференціального рівняння задачі. Покажемо, що функція задовольняє крайові умови. З цією метою запишемо граничний функціонал у вигляді

. (2.48)

Підрахуємо похідні, що входять до граничних умов

та підставимо ці співвідношення у рівність (2.48):

. (2.49)

Рівність (2.49) отримано за рахунок властивості 4) теореми.

Доведено, що функція, яка задовольняє умовам 1) – 4) є функцією Гріна.

Слідство. Якщо з чотирьох умов теореми виконано тільки три перші умови, то функція буде фундаментальною функцією: